Струминна модель потоку

В кожній точці потоку рідини можна визначити величину і направлення швидкості і отримати векторне поле швидкостей, але це не дає можливості виконувати гідродинамічні розрахунки щодо гідравлічних систем (трубопроводів, насосів та ін.).

З метою отримання необхідних залежностей для гідравлічних розрахунків потоків в трубах, каналах, витікання рідини крізь отвори і насадки розглянемо струминну модель потоку. Елементами струминної моделі потоку є лінія течії, трубки течії (поверхня трубки течії), елементарна струминка.

Лінія течії – це така уявна лінія в потоці рідини, дотичні в кожній точці якої співпадають з направленням векторів швидкостей частинок рідини, розташованих в цих точках. При усталеному русі потоку (внаслідок сталості величини і направлення швидкості в кожній точці) траєкторія частинок рідини співпадає з лінією течії. Лінії течії не перетинаються між собою, що виходить з самого визначення поняття ліній потоку.

Розглянемо потік рідини при усталеному русі. Візьмемо в потоці точку 1 і проведемо через цю точку лінію течії (рис. 26 а).

Біля точки 1 (рис. 26, б) виділимо точки 2, 3, 4, 5, 6, 7 і так далі. Через ці точки також проведемо лінії течії, які між собою не перетинаються. Тобто весь потік рідини можна уявити як сукупність ліній течій (рис. 26 б). Проведемо в потоці, що складається із сукупності ліній течій елементарний замкнений контур dl, через кожну точку якого проходять лінії течії. Сукупність ліній течії, що проходять через кожну точку елементарного замкненого контуру dl представляє собою трубку течії. Поверхня трубки течії не прониклива, тобто в середину трубки течії і назовні з неї рідина не може проникати, так як лінії течії не перетинаються.

Елементарна струминка представляє собою сукупність ліній течії, що проходять через кожну точку елементарної площі dF, що обмежена елементарним замкненим контуром dl (рис. 26, в). Тобто це вся рідина, що рухається в трубці течії.

Живий переріз елементарної струминки. Переріз елементарної струминки нормальний до її ліній течії називається живим. Коли (на певних ділянках) лінії течії паралельні або майже паралельні, то живий переріз буде плоским і називається поперечним перерізом.

На ділянках, де лінії течії (також елементарні струминки) не паралельні між собою і мають певний кут розходження (рис.27, переріз 3-3) живий переріз буде криволінійним.

Плавнозмінним рухом називається рух рідини, що відбувається на ділянках, де лінії течії паралельні, або майже паралельні між собою і віссю труби.

Оскільки площі поперечних перерізів елементарних струминок мають диференціальні розміри, то в кожних точках елементарної площі dF швидкості руху u – однакові. Але в суміжних елементарних струминках швидкості будуть різні. Наприклад, плавнозмінний рух здійснюється на ділянках в циліндричних трубах (див. рис. 27, ділянка між перерізом 1-1, 2-2).

Елементарна витрата рідини dQ, що протікає крізь поперечний переріз елементарної струминки. Об’єм рідини, що протікає крізь поперечний переріз елементарної струминки за одиницю часу називається об’ємною витратою рідини dQ.

Доведемо, що об’ємна витрата рідини елементарної струминки дорівнює добутку площі поперечного перерізу dF на швидкість руху частинок в цьому перерізі

Рис. 27

Припустимо, що в перерізі 1-1 (рис. 27) швидкість руху частинок рідини в елементарній струминці – u. Ця швидкість однакова для всіх частинок рідини, що проходять через переріз 1-1. Тоді через деякий час dt частинки рідини, що знаходяться в перерізі 1-1 рухаючись зі швидкістю u перемістяться в переріз 2-2, подолав шлях dS. Отже, за час dt через поперечний переріз елементарної струминки dF пройде кількість рідини, що дорівнює об’єму .Тоді елементарна об’ємна витрата рідини буде

(62)

Для газоподібної рідини масова витрата рідини буде

Рівняння нерозривності (суцільності) руху рідини в елементарній струминці. Оскільки поверхня елементарної струминки є поверхня трубки течії, яка непрониклива, то масова витрата рідини в будь-яких перерізах вздовж елементарної струминки є величина стала. Тоді

dm₁=dm₂= … dm_n, (63)

або …=

Для двох перерізів газоподібної рідини

де і – густина газу в першому і другому перерізах.

Для краплинної рідини . Тоді рівняння нерозривності буде мати наступний вигляд:

dQ₁= dQ₂=…………= dQ_n, (64)

для двох перерізів 1-1 i 2-2

u₁dF₁= u₂dF₂.

Звідки,

, (65)

Тобто, швидкості в двох перерізах обернено пропорційні площам поперечних перерізів елементарній струминки.

Потік рідини представляє собою сукупність елементарних струминок, щільно притиснутих одна до одної (рис. 31). В будь-яких перерізах, проведених на ділянках 1-1 чи 2-2 з плавнозмінним рухом витрата рідини потоку дорівнює сумарному значенню елементарних витрат, що мають окремі елементарні струминки. Тоді об’ємна витрата рідини потоку крізь його живий переріз F визначається як

. (66)

В цьому рівнянні під знаком інтеграла входить швидкість частинок рідини в елементарній струминки u, яка змінюється в живому перерізу потоку. Так як ще не відомий точний аналітичний закон розподілення швидкостей в живому перерізі потоку, то для інтегрування рівняння (66) вводиться поняття середньої швидкості v. Тоді . Звідки

(67)

Середня швидкість –це така уявна, однакова у всіх точках живого перерізу потоку, при якій крізь цей переріз здійснються та сама витрата, що й при дійсному розподілу швидкостей.

Рівняння нерозривності в гідравлічній формі для двох перерізів потоку, як що вважати, що між ними немає відведення або підведення рідини, і при умові усталеного руху, можна написати аналогічно рівнянням для елементарної струминки:

для стисливої рідини:

(68)