Рівняння Бернуллі для потоку нестисливої рідини

Проведемо живі перерізи 1-1 і 2-2 в потоці реальної рідини на ділянках з плавно змінним рухом, які перетинають всі елементарні струминки, що складають цей потік (рис. 31). Виділимо одну елементарну струминку з площами поперечних перерізів dF₁>dF₂ і запишемо рівняння Бернуллі для двох перерізів 1-1 і 2-2 в елементарній струминці реальної рідини.

+ ,

де величина в першому і другому перерізах представляють питомі потенціальні енергії положення і тиску;

величини в першому і другому перерізах представляють питомі кінетичні енергії рідини в елементарній струминці;

– втрати питомої енергії, що виникають за рахунок сил тертя на поверхнях суміжних елементарних струминок.

 

	Рис 31.

 

Так як потік складається з сукупності елементарних струминок, то рівняння Бернуллі для цілого потоку реальної рідини можна дістати шляхом сумування повних енергій всіх елементарних струминок, що складають потік, і втрат енергій, що виникають між сукупними елементарними струминками.

Помножимо всі величини, що складають рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини на елементарну вагову витрату рідини і враховуючи, що , дістанемо рівняння Бернуллі для елементарної струминки (81), де характеризує повну потенціальну енергію відносно вибраної площини порівняння;

– характеризує повну кінетичну енергію рідини в елементарній струминці;

– повні витрати енергії, що виникають за рахунок сил тертя на поверхнях суміжних елементарних струминок (на поверхні одної елементарної струминки). Тоді:

 

+ . (81)

Для отримання рівняння Бернуллі потоку реальної рідини необхідно проінтегрувати це рівняння за відповідними площами поперечних перерізів F₁ і F₂.

Тобто, необхідно визначити три інтеграла наступного виду:

; ; ;

;

так як – стала величина в перерізах з плавнозмінним рухом і інтеграл

.

Інтеграл – кінетична енергія потоку рідини, що розрахована, враховуючи дійсний розподіл швидкостей;

Інтеграл можна проінтегрувати, якщо уявити собі, що швидкість руху рідини в кожній точці поперечного перерізу однакова, яка називається середньою швидкістю ” v ” в даному поперечному перерізу. Тобто інтеграл можна представити як . Тоді цей інтеграл буде дорівнювати .

Позначимо – кінетична енергія потоку, що визначена за середньою швидкістю.

Відношення кінетичної енергії потоку, порахованої за дійсним розподілом швидкості у даному перерізі до кінетичної енергії потоку, порахованої за середньою швидкістю v, позначається через коефіцієнт α. Тоді

, (82)

враховує нерівномірність розподілу швидкостей в живому перерізі.

Коефіцієнт називається коефіцієнтом кінетичної енергії, або коефіцієнтом Каріоліса.

Для ламінарного режиму =2;

Для турбулентного режиму =1,05...1,1;

, .

В інженерній практиці для турбулентного режиму часто приймають =1.

Інтеграл визначає суму витрат енергій при русі всіх елементарних струминок, що складають потік від перерізу 1-1 до перерізу 2-2.

За аналогією поняття про середню швидкість вводимо поняття про середню витрату енергії однакову для всіх елементарних струминок потоку, які перетинаються перерізами 1-1 і 2-2.

Тоді

= ,

де – втрати напору при русі потоку рідини від 1 до 2 перерізів.

Тоді проінтегроване рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини має вигляд:

(83)

Віднесемо повну енергію потоку до одиниці ваги, тобто поділимо кожну складову рівняння на . В результаті одержимо

(83)

Рівняння (84) є рівнянням Бернуллі для потоку реальної рідини, де кожна складова вимірюється в м ст. рідини.

В рівнянні Бернуллі втрати напору на подолання гідравлічних опорів h_вт, що мають місце при усталеному русі рідини, складаються з втрат напору по довжині і втрат напору при проходженні рідини крізь пристрої (засувки, крани, повороти, розширення, звуження, сітки зворотні клапани і.т.ін.), що встановленні на трубопроводі (місцеві опори). Необхідні розрахунки величин і будуть наведені далі в окремому розділі.

Правила застосування рівняння Бернуллі:

1. рівняння Бернуллі записується для робочої ділянки трубопроводу, на кінцях якої відомі всі величини, що входять в рівняння, крім однієї, яку треба визначити;

2. перерізи 1-1 і 2-2 проводять на кінцях робочої ділянки, де лінії течії проходять паралельно одна одній, тобто на прямолінійних ділянках потоку (циліндрична труба);

3. якщо робоча ділянка має на своїх кінцях вільну поверхню (або дві), то переріз (чи перерізи) проводять по вільній поверхні (при цьому можуть бути невеликі неточності, якими можна знехтувати);

4. перерізи нумерують за рухом рідини;

5. площину порівняння проводять через нижній переріз, тоді одна з величин z випадає з рівняння, а друга – буде додатною;

6. якщо трубопровід горизонтальний, тоді площину порівняння проводять через вісь трубопроводу (при цьому z₁=z₂= 0);

7. остання складова рівняння враховує всі втрати напору між проведеними перерізами 1-1 і 2-2.

Якщо при розв’язанні інженерних задач є дві невідомі величини, то додатково застосовується рівняння нерозривності потоку в гідравлічній формі.

Гідравлічний ухил – це втрата напору по довжині на певній ділянці трубопроводу, яка припадає на одиницю довжини.

На рис. 32 зображений горизонтальний циліндричний трубопровід, на якому проведені два поперечних перерізи 1-1 і 2-2, відстань між ними l. В перерізах встановлені п’єзометричні і гідродинамічні трубки. Площина порівняння проведена через вісь трубопроводу.

Лінія наявного напору проходить через вільну поверхню рідини у гідродинамічній трубці, що встановлена у першому перерізі (горизонтальна лінія).

рівняння Бернуллі для даного випадку буде (при z₁=z₂= 0)

;

В циліндричному трубопроводі v₁ = v₂, тоді

.

Тобто, різниця тисків у перерізах 1-1 і 2-2 в горизонтальному трубопроводі діаметром d дорівнює втратам напору за довжиною l.

Гідравлічний ухил буде

Рис 33.

. (85)

Як бачимо на рис. 32 гідравлічна лінія (або лінія повного напору) і п’єзометрична лінія для циліндричного трубопроводу паралельна одна одній.

Гідравлічна лінія проводиться через точки, що лежать на вільних поверхнях рідини в гідродинамічних трубках.

П’єзометрична лінія проводиться через точки, що лежать на вільних поверхнях рідини в п’єзометричних трубках.

Рис. 32

Рис. 32

Гідравлічна лінія (або лінія повного напору) для потоку реальної рідини вздовж руху тільки знижується, так як на кожній одиниці довжини є втрати напору.

П’єзометрична лінія може спадати, а може і підніматися (як буде показано далі) в залежності від конструктивних розмірів відрізків, з яких складається трубопровід.

Відстані між лініями наявного напору і гідравлічною представляють собою втрати напору.

Геометричний (енергетичний) зміст рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини при усталеному русі полягає в тому, що сума повного напору в першому перерізі відносно площини порівняння завжди більша суми повного напору в другому перерізі на величину втрат напору (енергії), що виникають при русі рідини між ними, тобто Н_d1 > Н_d2 на величину .

Рівняння Бернуллі демонструє перехід одного виду напору (енергії) в інший. Так розглянемо рис. 33, 34, де показані труби, що складена з двох відрізків різних діаметрів. Відповідно до проведених перерізів у п’єзометричних і гідравлічних трубках встановлюються певні стовпчики рідини (у п’єзометричних – , у гідродинамічних трубках – . Оскільки на рис. 34 і рис. 35 трубопроводи розташовані горизонтально, то z₁ = z₂ = z₃ = z₄ = 0. Тоді покази гідродинамічних трубок будуть відповідати повному гідродинамічному напору Н_d.

Рис. 33

 

З рівняння Бернуллі можна записати незалежно від того, що на рис. 33, 34 d < D повні гідродинамічні напори переходячи від перерізу до перерізу, зменшуються на величину втрат напору, тобто

Н_d1 > Н_d2; Н_d3 > Н_d4; Н_d1 - Н_d2 = ; Н_d2 - Н_d3 = ; Н_d3 - Н_d4 = .

Як показано на рис. 33 і рис. 34 між перерізами 1-1 і 2-2, а також 3-3 і 4-4 гідравлічні і п’єзометричні лінії розташовані паралельно одна одній тому, що рух рідини відбувається на циліндричних відрізках, де швидкості (швидкісні напори) однакові на протязі їх довжин.

Між перерізами 2-2 і 3-3 на рис. 33 відбувається перехід частини п’єзометричного напору (питомої потенціальної енергії) в частину швидкісного напору (кінетичної енергії) і в той же час п’єзометричний напір в перерізі 3-3 ще зменшується на величину втрат напору на подолання гідравлічного опору при проходженні потоку через звуження. На рис. 34 між перерізами 2-2 і 3-3 здійснюється розширення потоку, при цьому швидкість потоку зменшується від v ₂ до v ₃. Тут відбувається перехід частини швидкісного напору (питомої кінетичної енергії) в п’єзометричний напір (питому потенціальну енергію тиску) і в той же час п’єзометричний напір в перерізі 3-3 зменшується на величину місцевого опору (розширення потоку).

Рис. 34

Приклад застосування рівняння Бернуллі сумісно з рівнянням нерозривності потоку.

Труба Вентурі застосовується для вимірювання витрати рідини і являє собою плавно збіжно- розбіжну металеву вставку з фланцями на кінцях. Вона вставляється в певному місці на трубопроводі. збіжна частина витратоміра виконується за формою струменя, який стискається від d₁ діаметра труби до d₂ діаметра циліндричної звуженої частини певної невеликої довжини. Після звуженої частини труба плавно розширюється до діаметра d₃, який з’єднується за допомогою фланців з трубопроводом (рис.35). Перед трубою Вентурі і на звуженій ділянці труби Вентурі встановлюються два п’єзометри (або диференціальний манометр).

Через точки приєднання першого і другого п’єзометрів проведемо поперечні перерізи 1-1 і 2-2.

Рис. 35

При русі рідини в трубі Вентурі в перерізах 1-1 і 2-2 будуть відповідно тиски p ₁ і p ₂ і швидкості – v ₁ і v ₂.

У вибраних перерізах п’єзометричні трубки показують різницю

= ∆ h.

Як відомо витрата рідини в трубопроводі визначається за формулою v . При швидкості v ₁ витрата рідини v ₁ .

 

	Рис. 35

Для визначення v ₁, при відомих F₁ і F₂, а також і , застосовуєтьсярівняння Бернуллі, яке пов’язує між собою п’єзометричні і швидкісні напори в різних перерізах

Оскільки труба горизонтальна, то z₁ = z₂ = 0 (площина порівняння проходить через вісь труби). Втратами напору між перерізами 1-1 і 2-2 нехтуємо, так як відстань між ними мала. Тоді

;

; звідки (86)

Позначимо (m – коефіцієнт стиснення потоку). З рівняння нерозривності потоку для двох означених перерізів можна записати, що

. Тоді рівняння (86) буде

, або , звідки .

Так як , тоді

де Q_{в.в .} – витрата рідини, що визначається за даними витратоміра Вентурі (в.в.);

залежить тільки від сталих величин (d₁ і d₂)

Тоді = С є сталою величиною, яка називається сталою вен турі і витрати рідини визначаються за формулою

Q_{в.в .}=С (87)

Знаючи і сталу С знаходимо відповідну величину Q_в.в..

Застосування труби Вентурі для визначення дійсного значення Q_д вводиться поправочний коефіцієнт α, який представляє собою відношення дійсної витрати рідини (визначається дослідним шляхом) до Q_{в.в .}= .

Тоді Q_д = α . (88)