Закон розподілу швидкостей в поперечному перерізі круглої труби.
З метою визначення закону зміни швидкості в поперечному перерізі круглої труби скористуємося формулою Ньютона про внутрішнє тертя в рідині
, (95)
де ― дотичне напруження між двома шарами (або частинками) рідини, на певному радіусі від осі труби;
― динамічний коефіцієнт в’язкості;
― градієнт швидкості;
Знак мінус (в формулі 95) означає, що градієнт швидкості зменшується від осі труби до стінок.
З другого боку така ж сама величина дотичної напруги на радіусі r від осі труби визначається за допомогою основного рівняння рівномірного руху, тобто , де i – гідравлічний ухил.
Тоді ,
де du – зміна швидкості між сукупними частинками (шарами) рідини.
Звідси ,
тоді невизначений інтеграл буде
, де С – стала інтегрування.
Знаходимо С з положення, що на стінці труби швидкість дорівнює нулю. Якщо позначимо r0 – відстань від осі до стінки труби, то при r = r0 u = 0.
Тоді , або С = ; звідки:
; (96)
Формула (96) встановлює залежність швидкості в будь-яких точках поперечного перерізу від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку і називається формулою Стокса.
|
|
З формули виходить, що швидкості при ламінарному русі розподіляються за параболічним законом. Крива розподілу є симетрична парабола (рис. 38, а).
Графічне зображення розподілу дотичних напружень в поперечному перерізі круглої труби [з формули () ] показано на рис. 38, б. На осі при r = 0
(97)
|
В поперечному перерізі виділимо елементарну площу у вигляді кільця з радіусами r і r+dr (рис. 39). Елементарна витрата рідини крізь це кільце буде
Підставляючи значення швидкості (96) в точці на радіусі r поперечного перерізу дістанемо.
Для визначення повної витрати рідини крізь поперечний переріз труби в межах зміни r від нуля до радіуса труби r0 інтегруємо вираз (dQ).
Тобто Q = (98)
Формула (98) встановлює залежність витрати рідини від геометричних і гідродинамічних параметрів потоку.
Середня швидкість в поперечному перерізі круглої труби радіусом r0 визначається як
. (99)
Порівнюючи величини середньої швидкості з максимальною
,
дістанемо, що середня швидкість в двічі менша за максимальну, тобто
(100)