Решение типовой задачи

Глава 3. Условная вероятность.

 

Рассмотрим события А и В, связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников нам стало известно, что событие В наступило, но неизвестно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие В произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события А?

Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать Р (А | В).

Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев с помощью условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая глава.

 

Условная вероятность.

Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической системы. Пусть событиям А и В благоприятствуют N_A и N_B элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии В. Поскольку событие В произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из N_B элементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь уже при определении степени возможности события А необходимо выбирать только из N_B возможных исходов, причем событию А благоприятствуют N_АВ исходов, при которых происходят и событие А, и событие В, или, другими словами, происходит событие АВ. При этом по-прежнему будем считать все N_B входящих в событие В исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность Р(A | B) события А при условии события В в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа N_АВ исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий А и В, к числу N_B исходов, благоприятствующих событию В, т.е.

. (*)

При Р (В)=0 условная вероятность Р (А | B) не определена. Формула (*), по существу, сводит вопрос о вычислении условной вероятности к вычислению двух безусловных вероятностей, определенных в заданном вероятностном пространстве.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События А ={первый шар белый}, В ={второй шар белый}, С ={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Р (В | A), P (A | B), P (A | C).

Решение. Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой (*). Занумеруем белые шары цифрами 1,2,3, а красные – 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием, поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде

.

Отсюда следует, что , для всех допустимых значений i и j.

Подмножества, соответствующие событиям А и В, имеют следующий состав:

,

,

причем, как нетрудно подсчитать, N (A) = 3*9, N (B) = 9*3,

, .

Событию АВ соответствует подмножество

,

следовательно, N (AB) = 3*2,

.

По формуле (*) отсюда находим

, .

Далее, по формуле классической вероятности

.

Для вычисления вероятности произведения АС заметим, что АВ А, поэтому АС = А (А + В)= А + АВ = А. Отсюда

.

Наконец, используя формулу (*), получаем

.

 

Задачи.

3.1. Пусть А, В и С – наблюдаемые события, причем Р (А)>0, P (AC)>0. Доказать справедливость следующих формул для условной вероятности:

P (AB / C)= P (A / C)P(B /AC) (формула умножения),

P (A+B / C)= P (A / C)+ P (В / C)- P (AВ / C) (формула сложения).

3.2. Показать, что если А, В и С – такие наблюдаемые в эксперименте события, что Ø и , то справедлива следующая формула умножения P (В+С / А)= P (В / А)+ P (С / А).

3.3. Доказать, что .

3.4. Один раз подбрасывается игральная кость. События А = {выпало простое число очков}, В = {выпало четное число очков}. Вычислить вероятность Р (А / В).

3.5. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятнсть того, что при попадании в самолет он будет сбит.

3.6. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени равна 0,8, а вероятность того, что он не откажет к моменту времени , равна 0,6. Найти вероятность того, что прибор не отказавший к моменту времени , не откажет и к моменту времени .

3.7. Электрическая схема (рис. 3.1) состоит из элементов, каждый из которых в момент вклюяения с равной верятностью может либо проводить, либо не проводить ток. Состояние каждого из элементов не влияет на сотояние остальных. Введем следующие события С = {цепь проводит ток}, А_i = { i – й элемент проводит ток}. Вычислить P (A₁ / C) и Р (А₂ / С).

рис. 3.1

3.8*. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.

3.9. Из множества чисел {1, 2, …, N } по схеме случайного выбора без возвращения выбирают три числа. Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.

3.10. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события А = {на трех костях выпадут разные грани}, В = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить Р (В / А) и Р(А / В).

Независимость.

Событие А называется независимым от события В, удовлетворяющего условию P (B) > 0, если выполняется равенство

.

События А и В называются независимыми, если

. (1)

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора из m событий () выполняется равенство

(2)

Формулы (1) и (2) позволяют выделить независимые события в тех случаях, когда модель вероятностного эксперимента формализована и вероятности всех нужных событий полностью определены. Однако, в практических задачах, связанных с проведением реальных экспериментов, далеко не всегда возможно использование данных критериев независимости. В таких случаях часто применяют гипотезу о физической независимости: считаются независимыми события, не связанные причинно.

Так, например, естественно считать независимыми результаты стрельбы из двух орудий при одновременном выстреле по цели или события, связанные с появлением брака определенного вида изделий, производимых двумя поточными линиями на различных предприятиях и т.д.