Решение типовой задачи

Задача 1. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Пусть случайно выбранный из партии транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

Решение. Из условия задачи очевидно, что с рассматриваемым событием А = {случайно выбранный транзистор признан дефектным} тесно связаны две гипотезы: = {поступивший на проверку транзистор дефектный}, = {поступивший на проверку транзистор исправный}. Безусловные априорные вероятности этих гипотез легко вычисляются по классической формуле: , . Условные вероятности определены в условии задачи: , . Применяя формулу полной вероятности, получим

Вычислим апостериорную условную вероятность гипотезы , используя формулу Байеса

Таким образом, апостериорная условная вероятность того, что транзистор на самом деле исправный, если известно, что он был признан дефектным, существенно меньше априорной вероятности гипотезы , что явилось следствием поступившей информации.

Задача 2. Изучается три вида дефектов запоминающих устройств, выполненных на интегральных схемах: дефекты схем обрамления (гипотеза , ), дефекты, вызванные паразитными связями (гипотеза , ) и дефекты адресных шин (гипотеза , ). Диагностика запоминающих устройств производится с помощью набора тестов Т₁, Т₂, …, Т_п, каждый из которых проверяет определенное состояние ячейки памяти. Наблюдаемый результат – состояние выбранной ячейки по отношению к каждому тесту. Пусть диагностика произведена, и наблюдался некоторый результат (произошло событие А). Известно до опыта, что

, , .

Установить, какая из гипотез имеет наибольшую апостериорную вероятность (т.е. какой из дефектов наиболее вероятен).

Решение. Вычислим сначала полную вероятность осуществления события А. Используя данные задачи и применяя формулу полной вероятности, получим

.

Для ответа на вопрос, какой из дефектов имеет наибольшую апостериорную вероятность, заметим, что в числителе формулы Байеса стоит слагаемое полной вероятности, относящееся к данной переоцениваемой гипотезе. Сравнивая эти слагаемые для трех заданных гипотез, получим, что наибольшую вероятность имеет гипотеза : .

Задачи.

3.56. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый иди черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

3.57. На вход радиолокационного устройства с вероят­ностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти ве­роятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

3.58. Прибор состоит из двух последовательно вклю­ченных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испытания прибора в течение времени Т зарегист­рирован отказ прибора. Найти вероятности следующих со­бытий: A₁ = {отказал только первый узел}, A₂ = {отка­зали оба узла}.

3.59. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События А = {первый шар белый}, В = {второй шар белый}. Найти условную вероятность Р (А / В), считая известной условную вероятность Р (В / А) и применяя формулу Байеса.

3.60. В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду и весу игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех шести цифр при случайном подбрасывании; другая неправильная, с неравномерным распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной игральной кости шестерка появляется вероятностью 1/3, единица – с вероятностью 1/9, остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью. Наудачу извлеченная из коробки игральная кость была подброшена, и в результате выпало шесть очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость.

3.61. Три стрелка производят по одному выстрелу в од­ну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны p₁, р₂ и р₃. Какова вероятность того, что второй стре­лок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказа­лось две пробоины?

3.62. Однотипные приборы выпускаются тремя заво­дами в количественном отношении п₁: п₂: n_{3 ,} причем ве­роятности брака для этих заводов соответственно равны p₁, p₂ и p_{3 .} Прибор, приобретенный научно-исследователь­ским институтом, оказался бракованным. Какова вероят­ность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)?

3.63. Число бракованных микросхем на 1000 априори считается равновозможным от 0 до 3. Наудачу опробованы 100 микросхем, оказавшимися исправными. Какова вероятность того, что все схемы исправны?

3.64. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экза­мен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 под­готовленных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов про­граммы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности следующих со­бытий: S₁ = {студент подготовлен отлично или хорошо}, S₂ = {студент подготовлен удовлетворительно}, S₃ = {сту­дент подготовлен плохо}.

3.65. Астрономический объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: Н₁ или Н₂. Априорные вероятности этих состояний , . Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Первая обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 90% случаев, а в 10% ошибается; вторая дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 80% случаев, а в 20% ошибается. Первая обсерватория сообщила, что объект находится в состоянии Н₁, а вторая – что объект находится в состоянии Н₂. Найти апостериорную вероятность состояния Н₁.

3.66. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) , , или . По данным статистики , , , . В ходе расследования обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: , , , . Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

3.67. По каналу связи передается шифровой текст, содержащий только три цифры 1, 2, 3, которые могут появляться в тексте с равной вероятностью. Каждая передаваемая цифра в силу наличия шумов принимается правильно с вероятностью p и с вероятностью принимается за какую либо другую цифру. Предполагается, что цифры искажаются независимо. Найти вероятность того, что было передано 111, если принято 123.

3.68. Методом тестирования отыскивается неисправность в арифметическом устройстве вычислительной машины. Можно считать, что есть 4 шанса из 5, что неисправность сосредоточена в одном из 8 микропроцессоров, с равной вероятностью в любом из них. Были испытаны 7 из этих микропроцессоров, но неисправность не обнаружена. Какова вероятность обнаружить неисправность в последнем из восьми микропроцессоров?

3.69. Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90% (т.е. 10% носителей туберкулеза остаются неопознанными). Вероятность того, что у здорового человека будет определен туберкулез, составляет 1%. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных, равных 0,1%. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является носителем туберкулеза?

3.70. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем для первой группы из шести орудий вероятность того, что при одном выстреле произойдет недолет, попадание или перелет, равны соответственно 0,1; 0,7; 0,2. Для каждого из остальных четырех орудий вероятности тех же самых событий равны 0,2; 0,6 и 0,2. Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один недолет и один перелет. Какова вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит первой группе?

3.71. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производитель­ность первого автомата вдвое больше производитель­ности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. На­удачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь про­изведена первым автоматом.

3.72. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из случайно выбранной винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

3.73. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3.74. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При свертке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)

3.75. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

3.76. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

3.77. Событие А может появиться при условии появления лишь одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены условные вероятности (i = 1, 2, …, n)/ Доказать, что .

3.78. Событие А может появиться при условии появления лишь одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что и . Чему равна условная вероятность гипотезы ?

3.79. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероят­ность того, что детали были извлечены из третьей партии.

3.80. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попада­ния в цель первым, вторым и третьим орудиями соот­ветственно равны ==0,4; ==0,3; ==0,5.

3.81. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелком соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

3.82. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

3.83*. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны , , и .