Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Рассматриваемые системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления представляют целые степени двойки: 2 в 3-ей степени - для восьмеричной и 2 в 4-й для шестнадцатеричной системы.

Основанием восьмеричной системы счисления является число 8,т.е. для записи чисел используются восемь цифр от 0 до 7. Необходимо запомнить, что цифра 8 при записи чисел в восьмеричной системе не используется. Обычно числа, записанные в восьмеричной форме, снабжают индексом 8, чтобы отличать их от десятичных чисел, с которыми мы привыкли работать. Например, 43₈, 165₈.

Шестнадцатеричная система счисления в качестве основания системы использует число 16. В системах счисления с основанием больше 10 кроме цифр от 0 до 9 применяют еще и буквы латинского алфавита.

Числа, записанные в шестнадцатеричной форме, снабжают индексом 16, например, 24₁₆, A2₁₆, FE₁₆ и B7₁₆.

Обратите внимание на то, что при записи чисел используются латинские буквы от A до F. Вместо "цифры" 10 ставят букву А, вместо 11 - В, 12-ти соответствует С, 13-ти - D, 14-ти - Е, и 15-ти - F (см. Таблицу 1.2.).

Таблица 1.2. Таблица соответствия чисел.

Большим достоинством восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления является, во-первых, возможность более компактно представить запись двоичного числа, а именно, запись одного и того же двоичного числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной. Во-вторых, сравнительно просто осуществляется преобразование чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот. Действительно, так как для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трех двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного - группой из четырех двоичных разрядов (тетрад), то для такого преобразования достаточно объединить двоичные цифры в группы по 3 и 4 бита соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево.

При этом, в случае необходимости добавляют нули в начале и в конце числа и каждую такую группу - триаду или тетраду - заменяют эквивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой. Например, нужно перевести двоичное число 10101111 в восьмеричную систему. Разбиваем его на тройки, начиная с младшего разряда,

(10)(101)(111),

поскольку старшие разряды образуют не тройку, а двойку, дополним их нулем - (010)(101)(111). Теперь по таблице 2.1 определим восьмеричные значения каждой тройки в отдельности, т.е. двоичное число 010₂ соответствует восьмеричному числу 2₈, двоичное число 101₂ - восьмеричному числу 5₈,111₂ - восьмеричному числу 7₈. Следовательно, двоичному числу 10101111₂ эквивалентно восьмеричное число 257₈.

Например, требуется перевести двоичное число 111110101 в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем его по 4 разряда - (1)(1111)(0101), теперь старшую четверку дополняем нулями (0001)(1111)(0101). Далее по таблице 1.1 определяем шестнадцатеричные эквиваленты для каждой четверки:

двоичному числу 0001 соответствует шестнадцатеричное число 1;

числу 1111 - F;

числу 0101 - 5.

Следовательно, эквивалентом двоичного числа 111110101 является шестнадцатеричное число 1F5₁₆.

Указанные достоинства восьмеричных и шестнадцатеричных систем счисления определили использование их при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных чисел, команд и специальных двоичных слов, с которыми оперирует ЭВМ.