Как по существующим плоским изображениям представить действительный геометрический объект

Под геометрическим объектом (фигурой) понимается некоторое множество точек, объединенных между собой определенными условиями. Для того, чтобы отобразить весь геометрический объект (все множество), необходимо отобразить каждую из точек его составляющих (каждый элемент множества). Способ, который используют в начертательной геометрии для изображения геометрического множества или его элемента на плоскости, носит название метода проецирования, а результат этого действия называют проекцией множества или его элемента.

 

 

1.2. Прямоугольное проецирование на две и три
взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образование чертежа

 

Одним из приемов отображения геометрического объекта на плоскости является способ прямоугольного проецирования. Пусть в пространстве имеется некоторая точка А (рис. 1.1) и плоскость Р (плоскость проекций). Для получения отображения (проекции) точки А на плоскость необходимо провести из нее проецирующий луч перпендикулярно к плоскости Р. Точка a₀, в которой проецирующий луч пересекает плоскость проекций, является проекцией точки А на плоскость Р.

 

Однако, если прямую задачу – отобразить на плоскости геометрический объект, находящийся в пространстве, – решить вполне возможно, то решение обратной задачи – по заданной проекции точки однозначно определить ее положение в пространстве – оказывается невозможным: располагая проекцией a₀ на плоскости P, можно лишь реконструировать проецирующий луч, каждая точка которого будет иметь проекцию a₀. Это недостаток можно преодолеть, если около точки a₀ указать удаление точки А от плоскости проекций P. Такой способ определения положения объекта в пространстве носит название метода проекций с числовыми отметками и широко используется, например, при составлении географических карт для изображение рельефа местности. Но он совершенно неприменим для создания и восприятия чертежа сколько-нибудь сложной машиностроительной детали.

 

Прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Современные правила и приемы построения плоских изображений пространственных форм были систематизированы и развиты французским ученым Гаспаром Монжем (1746 – 1818).

В трудах, опубликованных Г.Монжем в 1799 году, предлагалось использовать систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 1.2 а). Одна из них (Н) расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций, а вторая (V) расположена вертикально и называется фронтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей Н и V называется осью проекций (x).

 

а б в

Рис. 1.2

Ось делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости. Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на четыре четверти. Пространство, ограниченное передней полуплоскостью Н и верхней полуплоскостью V, принимают за I четверть, пространство между верхней полуплоскостью V и задней полуплоскостью Н называют П четвертью. Пространство между задней полуплоскостью Н и нижней полуплоскостью V – III четверть и пространство между нижней полуплоскостью V и передней полуплоскостью Н – IV четверть.

 

Для получения проекций точки А в системе V,Н следует осуществить прямоугольное проецирование на каждую из плоскостей проекций. Пересечение проецирующего луча с плоскостью Н определит положение горизонтальной проекции a точки А, а пересечение проецирующего луча с плоскостью V даст фронтальную проекцию a’ точки А.

Полученные таким образом изображения позволяют, располагая только проекциями точки, определить положение самой точки в пространстве. Действительно, если восставить перпендикуляр в точке a к горизонтальной плоскости проекции, а в точке a’ – к фронтальной плоскости проекций, то пресечение этих перпендикуляров определит положение точки А в данной системе плоскостей проекций. Мы пришли к очень важному выводу: две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Однако пользоваться изображениями геометрического объекта, полученными на двух взаимно перпендикулярных плоскостях, было бы весьма затруднительным, поэтому следующей задачей является переход к такому изображению, где бы обе проекции располагались на одной и той же плоскости. Для этого отметим несколько закономерностей (см. рис. 1.2 а). Отрезок Aa, перпендикулярный к плоскости H, и отрезок Aa’, перпендикулярный к плоскости V, определяют плоскость Q, перпендикулярную к каждой из плоскостей проекций и, следовательно, перпендикулярную к линии пересечения плоскостей проекций – оси x. Поскольку ось x перпендикулярна к плоскости Q, то она должна быть перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе к прямым aa_x и a’a_x, представляющими линии пересечения плоскости Q с соответствующими плоскостями проекций. Таким образом, фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций x и пересекающих ее в одной и той же точке.

Для получения изображений на плоскости горизонтальную и фронтальную плоскости проекций совмещают. При этом фронтальная плоскость проекций остается неподвижной, а горизонтальную плоскость проекций поворачивают вокруг оси x так, что передняя полуплоскость Н опускается. (Обратим внимание: задняя полуплоскость Н при этом поднимается.) После совмещения плоскостей V и Н получим чертеж, показанный на рис. 1.2 б. Заметим, что фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной к оси x. Прямая a’a называется линией связи. На рис. 1.2 б прямоугольники, имитирующие плоскости V и Н, оставлены для наглядности. В действительности чертеж точки в системе V,H имеет вид, показанный на рис. 1.2 в.

Обратим самое серьезное внимание на то, что на чертеже, как правило, сам геометрический объект отсутствует, а имеются лишь отображения этого объекта на плоскостях проекций. Так на рис. 1.2 в точка А отсутствует, а имеются лишь горизонтальная a и фронтальная a’ проекции этой точки.

 

Прямоугольное проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Образование чертежа.

Помимо горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций зачастую используется и третья плоскость проекций, которая перпендикулярна к плоскостям V и Н – профильная плоскость проекций W (рис. 1.3 а).

 

 

Рис. 1.3

Три взаимно перпендикулярные плоскости пересекаются по трем прямым – осям проекций Ox, OyиOz. Плоскости V, Н и W делят пространство на 8 октантов, нумерация которых показана на рис. 1.3 а. Для простоты изложения мы рассматриваем точку, находящуюся в первом октанте, хотя на практике точка или любой другой геометрический объект может находиться в любом из октантов.

Для получения проекций точки А в системе трех плоскостей проекций необходимо осуществить прямоугольное проецирование на плоскости Н, V и W. Профильная a” и фронтальная a' проекции точки А располагаются на прямых перпендикулярных к оси проекций Oz и пересекающих ее в одной и той же точке a_z, профильная a" и горизонтальная a' проекции точки А располагаются на прямых перпендикулярных к оси проекций Oy и пересекающих ее в одной и той же точке a_y.

При переходе к чертежу горизонтальная и профильная плоскости проекций совмещаются с фронтальной путем вращения вокруг соответствующих осей. Плоскость Н поворачивается вокруг оси Ox так, что передняя полуплоскость опускается, а плоскость W поворачивается вокруг оси Oz так, что передняя полуплоскость движется вправо. После совмещения плоскостей имеем чертеж, показанный на рис. 1.3 б.

Вследствие описанных перемещений плоскостей Н и W ось Oy на чертеже повторяется дважды, располагаясь вниз и вправо от точки O. Фронтальная a' и профильная a” проекции точки А располагаются на одной линии связи a'a" перпендикулярной к оси Oz, а линия связи горизонтальной a и профильной a” проекций оказывается разделенной на два отрезка aa_y и a_ya”, перпендикулярных к оси проекций Oy.

Еще раз обратим внимание на то, что на чертеже рис. 1.3 б сама точка А отсутствует, а имеются лишь три проекции (изображения) этой точки. Тем не менее чертеж вполне позволяет судить о расположении точки А относительно плоскостей проекций. Обратившись к рис. 1.3 а, можно видеть, что отрезки проецирующих лучей Aa, Aa' и Aa", отрезки осей Ox, Oy и Oz, а также отрезки линий связей aa_x, a'a_x, a'a_z, a"a_z, aa_y и a"a_y представляют собой ребра прямоугольного параллепипеда, противоположные стороны которого, как известно, равны. Расстояния точки А до плоскостей проекций определяются величинами отрезков Аa", Aa' и Aa, имеющими равные им величины отрезков линий связей:

расстояние точки А до профильной плоскости проекций

çАa”ç = ça’a_zç = çaa_yç;

расстояние точки А до фронтальной плоскости проекций

çАa’ç = çaa_xç = ça”a_zç;

расстояние точки А до горизонтальной плоскости проекций

çАaç = ça’a_xç = ça”a_yç.

Поэтому, глядя на чертеж рис. 1.3 б, где имеются лишь проекции точки А, можно утверждать, что точка А лежит левее плоскости W на величину aa_y (или a'a_z), точка А расположена перед плоскостью V и удалена от нее на величину aa_x (или a"a_z) и точка А находится выше плоскости H на величину a'a_x (или a"a_y).

 

Координаты точки

Три взаимно перпендикулярные плоскости, от которых ведется отсчет при определении положения точки, называются координатными плоскостями, а расстояния точки до этих плоскостей – прямоугольными координатами. Здесь и далее мы будем полагать, что координатные плоскости совпадают с плоскостями проекций. Тогда расстояние Aa” (рис. 1.3 а) – координата x (абсцисса) точки А, раcстояние Аa’ – координата у (ордината) точки А, расстояние Аa – координата z (аппликата) точки А. Зная координаты точки и учитывая, что этим координатам соответствуют определенные отрезки линий связи на чертеже (см. рассмотренные выше равенства), всегда можно построить проекции точки (рис. 1.3 б). При этом для построения недостающей горизонтальной или профильной проекций точки можно воспользоваться так называемой "постоянной линией чертежа" (ПЛЧ) – прямой, проведенной из точки O под углом 45⁰ к оси Oy.

Координатные оси бесконечны, и точка O разделяет положительные и отрицательные значения координат. Положительные значения координат располагаются от точки O в направлении, обозначенном на рис. 1.3 б буквами x, y и z.

 

Чертеж без указания осей проекций

 

Наличие на чертеже осей проекций позволяет определить положение точки или другого геометрического объекта относительно плоскостей проекций. Однако в большинстве случаев (а при выполнении чертежей машиностроительных деталей – всегда) эта информация остается невостребованной. Для решения инженерных задач вполне достаточно уяснить форму и размеры детали, то есть установить взаимное положение точек, линий и поверхностей, ограничивающих деталь. Поэтому наиболее распространенным является безосный чертеж – чертеж без указания осей проекций (рис. 1.4). Если при этом целесообразно воспользоваться постоянной линией чертежа, то ее можно проводить в любом месте чертежа, сохраняя лишь наклон к линиям связей.

 

 

1.3. Проекции прямой линии и ее отрезка

 

Для того, чтобы получить прямоугольную проекцию прямой AB на плоскость P (рис. 1.5) необходимо получить проекции каждой точки прямой. Однако в последовательном проецировании каждой из точек нет необходимости: прямая АВ с любым из проецирующих лучей, например, с лучом из точки А, образует плоскость Q, пересечение которой с плоскостью проекций Р дает прямую a_pb_p, являющуюся проекцией прямой АВ на плоскость Р. Проекции любой другой точки прямой АВ, например, точки В, будут лежать на проекции прямой a_pb_p: проецирующий луч, проходящий через точку В, принадлежащую плоскости Q, и параллельный другой прямой, лежащей в этой плоскости (например, прямой Aa_p), принадлежит плоскости Q и, следовательно, пересекает проекцию прямой. Проекция отрезка a_pb_p в общем случае всегда меньше самого отрезка АВ. Величины отрезка и его проекции равны между собой лишь при параллельности прямой и плоскости проекций.

Положение прямой в пространстве задается или двумя точками, или точкой и направлением прямой. Соответственно на чертеже задают или проекции двух точек прямой, или проекции всех точек прямой, не фиксируя проекций каких-то отдельных точек, или задают проекции одной из точек, но определяют направление прямой.

Прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций, называются прямыми общего положения.

Прямые параллельные одной или двум плоскостям проекций называются прямыми частного положения.

В таблице 1.1 приведены наглядные изображения и чертежи отрезков прямых линий, расположенных относительно плоскостей проекций всеми возможными вариантами. В системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций существуют три семейства прямых, параллельных одной и только одной плоскости проекций – варианты 2, 3 и 4. Если же прямая параллельна двум плоскостям проекций, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей, то есть соответствующей оси проекций. Эта ось проекций перпендикулярна к третьей плоскости проекций, поэтому прямая, параллельная двум плоскостям проекций, перпендикулярна к третьей плоскости проекций. Таким образом, еще три семейства составляют прямые перпендикулярные к плоскостям проекций – варианты 5, 6 и 7.

Если отрезок прямой не параллелен ни одной из плоскостей проекций, то, как уже упоминалось, ни на одну из плоскостей проекций отрезок не проецируется в натуральную (истинную) величину – (вар. 1 табл. 1). Если же прямая линия параллельна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость отрезок прямой проецируется в натуральную величину – (вар. 2 – 4 табл. 1).

Особенность изображения прямых линий, параллельных двум плоскостям проекций (вар. 5 – 7 табл.1), состоит в том, что проекции всех точек прямой на ту плоскость, которой прямая линия перпендикулярна, совпадают. Поэтому на одну из плоскостей проекций отрезок проецируется в точку, а на другие – в натуральную величину.

 

Таблица 1.1

Положение отрезка прямой линии относительно плоскостей
проекций

№ п.п.	Положение отрезка прямой линии относительно плоскостей проекций	Наглядное изображение	Изображение на чертеже
	Отрезок не параллелен ни одной из плоскостей проекций (отрезок прямой общего положения)
	Отрезок параллелен одной из плоскостей проекций	Отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций (отрезок горизонтальной прямой)
	Отрезок параллелен фронтальной плоскости проекций (отрезок фронтальной прямой)
	Отрезок параллелен профильной плоскости проекций (отрезок профильной прямой)

 

Продолжение таблицы 1.1

	Отрезок параллелен двум плоскостям проекций	Отрезок перпендикулярен к горизонтальной плоскости проекций (отрезок горизонтально-проецирующей прямой)
	Отрезок перпендикулярен к фронтальной плоскости проекций (отрезок фронтально-проецирующей прямой)
	Отрезок перпендикулярен к профильной плоскости проекций (отрезок профильно-проецирующей прямой)

 

 

Взаимное положение точки и прямой линии

Точка может принадлежать прямой или не принадлежать ей. Если точка принадлежит прямой (является одной из точек прямой), то, как уже было показано выше, проекция точки принадлежит проекции прямой (см. рис. 1.5). Не только концы отрезка AB, но и любая другая точка, принадлежащая прямой АВ, например, точка С, имеет проекцию с_р, принадлежащую проекции a_pb_p.