Пересекающиеся поверхности могут быть представлены как множество окружностей

В качестве вспомогательных могут быть использованы сферы с постоянным центром (концентрические сферы) и сферы с переменным центром (эксцентрические сферы).

Вспомогательные поверхности в виде сфер, имеющих общий центр, применяются для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси которых пересекаются.

Пусть необходимо построить проекцию линии пересечения прямого кругового конуса с вершиной S (рис. 1.51) и с диаметром основания D₁ и прямого кругового цилиндра с диаметром D₂. Оси конуса и цилиндра пересекаются в точке О и параллельны фронтальной плоскости проекций.

Наличие фронтальной плоскости симметрии пересекающихся поверхностей, определяемой осями конуса и цилиндра, позволяют заключить, что фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения должны совпадать.

Пересечем заданные поверхности сферой с радиусом R и с центром в точке О. Найдем линии, по которым вспомогательная поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. Введенная сфера, центр О которой располагается на оси конуса, образует с последним соосные поверхности вращения. Такие поверхности пересекаются по окружностям. А вследствие того, что ось конуса параллельна фронтальной плоскости проекций, фронтальные проекции этих окружностей – отрезки m'₁ и m'₂. Поскольку центр вспомогательной сферы располагается на оси цилиндра, то сфера с цилиндром также образует соосные поверхности вращения, и фронтальная проекция окружности, по которой они пересекаются – отрезок n'₁.

Окружности m⁰₁ и n⁰₁, принадлежащие одной и той же сфере, пересекаются в двух точках, фронтальные проекции 1' и 1'₁ которых совпадают. Пересечение окружностей m⁰₂ и n⁰₁ дает еще две точки, общие для цилиндра и конуса; фронтальные проекции этих точек – 2' и 2'₁.

Очерковые образующие конуса и цилиндра лежат в общей плоскости симметрии и потому пересекаются. Точка 3⁰ – наиболее высокая точка линии пересечения, а точка 4⁰ – самая низкая.

Вводя новые вспомогательные сферы с центром в точке О и повторяя описанные построения, можно найти проекции других точек, соединив которые плавной кривой, получить фронтальную проекцию линии пересечения конуса и цилиндра.

Размеры используемых сфер должны удовлетворять двум условиям: а) они должны пересекать заданные поверхности, и б) образующиеся при пересечении с заданными поверхностями окружности должны пересекаться между собой. Поэтому максимальный радиус вспомогательных сфер не должен превышать расстояния от центра сферы до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В рассматриваемой задаче – это расстояние от точки О до точки 3⁰. Минимальный радиус вспомогательной сферы выбирается из сравнения размеров двух сфер, каждая из которых вписана в одну из пересекающихся поверхностей. Из этих двух сфер выбирается сфера большего радиуса. Такой сферой в обсуждаемой задаче является сфера с радиусом R_min, вписанная в конус. Для определения ее радиуса необходимо выяснить точку касания главного меридиана сферы к очерковой образующей конуса, поэтому из точки o' на очерк опущен перпендикуляр, величина отрезка которого определила минимальный радиус вводимой сферы. Сфера с радиусом R_min касается конуса по окружности m⁰₃, а цилиндр пересекает по окружности n⁰₂. Пересечение их проекций m'₃ и n'₂ позволяет построить проекции точек 5' и 5'₁.