Скалярное произведение векторов

Углом между векторами и называется угол между векторами и имеющими общее начало.

Скалярным произведением векторов и называется число , равное произведению их модулей на косинус угла между векторами: .

Скалярное произведение обладает следующими очевидными свойствами:

1) 2) ; 3) ;

4) если модуль b = 1, то ;

5) когда векторы перпендикулярны или один из векторов равен нуль вектору .

Векторной проекцией или просто проекцией вектора на прямую называется вектор , началом и концом которого служат проекции начала и конца вектора .

Очевидно, что равные векторы имеют равные проекции, но не наоборот.

Проекция суммы векторов равна сумме их проекций: .

Скалярное произведение векторов равно, в частности, скалярному произведению вектора на проекцию , вектора на прямую, содержащую вектор , т.е. . (1)

Если некомпланарные векторы, то из трёх равенств

следует

Действительно, если , то из указанных равенств следует , , , а значит, векторы параллельны любой плоскости, перпендикулярной вектору , т.е. компланарны, что противоречит условию.