Координаты вектора и операции в координатах

Пусть три некомпланарных вектора.

Теорема. Любой вектор допускает единственное представление

(1)

Числа называются аффинными координатами вектора относительно базиса . Разложение записывают кратко .

Выясним геометрический смысл координат вектора, если базис ортонормирован, т. е. состоит из единичных, попарно ортогональных векторов, которые часто обозначают . Координаты в этом случае называют декартовыми.

Умножая скалярно равенство (1)

последовательно на и учитывая единичность длин и ортогональность векторов декартового базиса, получаем

, , .

Откуда , , , где

, , .

Полученный результат можно выразить словами: декартовы координаты вектора суть скалярные проекции этого вектора на оси, определяемые базисными векторами.

Пусть , . Тогда

,

,

.

Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

Найдём скалярное произведение векторов и в декартовом базисе

.

Получим

.

Рассмотрим смешанное произведение векторов декартового базиса: . Правой тройке соответствует знак «+», а левой - «-».

Допустим, как обычно, что тройка векторов - правая. Перемножим векторно векторы правого декартового базиса:

, .

С помощью этих соотношений найдём векторное произведение в декартовых координатах:

= =

= =

= .

Эти координаты получаются при разложении следующего определителя по первой строке

.

Найдём, наконец, смешанное произведение векторов , , в декартовых координатах:

,

 

откуда

.