Определение производных и дифференциалов высших порядков

Определение дифференциала функции, его свойства.

Лекция № 13.

Доказательство.

(с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда

Теорема доказана.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4)

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Общие правила нахождения высших производных.

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1) (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2) (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;

3)

.

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.

Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = e^x;

;

Пример: Найти предел .

; ;

.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Пример: Найти предел .

; ;

- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;

;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

Пример: Найти предел .

Здесь y = x^x, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно

Пример: Найти предел .

; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.

; ;