Б) Статистичні ряди розподілу частот та їх графічні представлення

 

Початковим матеріалом будь-якого статистичного аналізу є сукупність результатів спостережень. На практиці статистичне дослідження проводять за певними характеристиками або ознаками. Так, у дослідженні соціологів зустрічаються такі ознаки, як професія, вік, стан матеріального забезпечення тощо. Ознаки поділяються на якісні і кількісні.

Якісні ознаки досліджуваний об'єкт може мати, а може не мати. Вони не піддаються безпосередньому вимірюванню (наприклад, спеціальність, кваліфікація, національність, колір і ін.).

Кількісні ознаки є результатом вимірювання або підрахунку. Відповідно вони поділяються на дискретні і неперервні.

Кількісні дискретні ознаки можуть набувати окремих значень із деякої послідовності чисел (наприклад: кількість балів, кількість учнів, розмір взуття і т.п.).

Кількісні неперервні ознаки можуть набувати будь-яких значень у певному інтервалі (наприклад: зріст учнів, швидкість pyxу і т.п.).

Нехай вивчається деяка випадкова величина Х, закон розподілу якої невідомий. З цією метою над Х проводиться ряд незалежних дослідів (вимірювань), результат яких записують в таблицю (див. табл.1 до звіту лаб. роботи), де і – номер досліду, х_і – результат досліду, n – обсяг вибірки.

Статистичним рядом називають таблицю, в якій містяться номери і результати дослідів. Результати записані в порядку їх реєстрації, важко споглядати і досліджувати. Тому задачею статистичного опису вибірки є одержання такого її представлення, який дозволить виявити характерні особливості вихідних даних.

Нехай експериментальний матеріал описує реалізацію випадкової величини Х.

Спостережувані значення х_і ознаки Х називаються варіантами, а послідовність варіант, які записані в зростаючому порядку, називається варіаційним рядом.

Число появ значення х_і називають абсолютною частотою m_і, а число m_і/n=w_і – відносною частотою.

Статистичним дискретним рядом розподілом або статистичним розподілом частот для даної вибірки називають сукупність варіант і відповідних їм частот (абсолютних чи відносних), що представляють таблицею частот (див. табл.3 і 4).

Полігоном (многокутником) абсолютних чи відносних частот називається ламана, відрізки якої з’єднують точки (х_і,m_і),...,(х_к,m_к) чи (х_і,w_і),...,(х_к,w_к)

Див. крок 4 пункти а) та б).

Якщо випадкова величина Х – неперервна, то весь діапазон спостережуваних даних поділять на інтервали і підраховують кількість значень m_і, що попадають на даний інтервал, тобто визначають абсолютні частоти спостережуваних даних, що попадають в певний інтервал. Відповідно визначають відносні частоти m_і/n=w_і, причому , а .

Одержані інтервали і відповідні їм частоти (абсолютні чи відносні) записують у вигляді таблиці, яка називається інтервальним статистичним рядом розподілу.

Інтервальні статистичні ряди розподілу будуються і для дискретних випадкових величин, коли кількість варіант велика.

Зауваження. При побудові такого ряду розглядають інтервали однакової довжини h. Кількість інтервалів можна визначити за одним із співвідношень:

n, або k =[ 1+3,322 n ], де n – об’єм вибірки.

Кількість інтервалів можна задати і самому.

Довжина інтервалу обчислюється за формулою , де та – відповідно найбільше і найменше значення варіанти, к – кількість інтервалів.

Інтервальний статистичний ряд розподілу, представлений графічно, називається гістограмою.

Іншими словами, гістограма – стовпчаста фігура (діаграма), яка складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють h_i=m_i/h (щільність абсолютної частоти), h_i=w_i/h (щільність відносної частоти).

Приклади гістограм див. в пунктах а) та б) кроку 5.

Очевидно, площа гістограми абсолютних частот дорівнює об’єму вибірки, бо , а площа гістограми відносних частот дорівнює 1, бо ^.

Гістограму і полігон частот вибіркового (статистичного) розподілу можна використовувати для підбору моделі розподілу випадкової величини Х. Розподіл вибірки, що задається дискретним статистичним рядом відносних частот, називається емпіричним розподілом випадкової величини Х.

 

ЗАВДАННЯ. Здійснити дві вибірки обсягами n =30 для вивчення загальних характеристик двох кількісних ознак – це розмір взуття (дискретна) та зріст учня (неперервна) згідно деякої закономірності, зафарбувавши вибрані комірки таблиці даних генеральної сукупності.

 

ПОБУДОВА ПОЛІГОНІВ, ГІСТОГРАМ ЗА ВИБІРКОЮ
З ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ.

Мета: ознайомитися з різними способами збирання статистичних даних; навчитися складати для даної вибірки статистичні ряди розподілу частот (дискретний та інтервальний), будувати полігони та гістограми.

1. У файлах табличного процесора Excel досліджуємо випадкові величини: дискретну (DVV.xls) та неперервну (NVV.xls).

2. На листі “вхідні дані” введіть значення випадкової величини Х_і в обрамленій таблиці 1.

3. Сортування даних проведіть у таблиці 2. Для цього:

- скопіюйте табл.1 на нове місце, вказане на листі:

P виділіть протяжкою мишки табл.1 разом з заголовком;

P в контекстному меню (права кнопка миші) виберіть команду “копировать”;

P зробіть активною комірку G7 і вставте скопійовану таблицю (команда “вставить” контекстного меню);

- відсортуйте табл.2 за значеннями Хі (напр., за зростанням):

P команда меню “Данные” → “сортировка” Сортировать по Х_і (виберіть зі списку, що відкривається);

P порядок сортування задайте за допомогою перемикача (напр., “по возрастанию”).

4. Для складання статистичних рядів розподілу перейдіть на лист “стат.ряди”.

5. Для складання статистичного ряду розподілу абсолютних частот скористайтеся розрахунковою таблицею:

- вводьте послідовно значення Х_і в комірку С8;

- обчислене значення m_i заносьте у табл.3. Прослідкуйте, щоб значення n дорівнювало числу введених даних.

6. Статистичний ряд розподілу відносних частот (табл.4) будується на основі табл.3. Прослідкуйте, щоб значення дорівнювало 1.

7. Для побудови полігонів перейдіть на лист “полігони”.

8. Повторіть виконання пунктів 1-6 для неперервної випадкової величини “зріст”.

9. Побудуйте інтервальний статистичний ряд частот при обчисленому значенні k та h (табл.5).

10. Гістограми для неперервної величини (зріст учнів) на основі інтервального статистичного ряду будуються на листі “гістограми”.

11. Для оформлення звіту до лабораторної роботи у файл прізвище.doc скопіюйте графіки, попередньо виділивши область діаграми.

 

Зразок оформлення звіту до лабораторної роботи

 

Табл.1	і	Х і		Табл.2	і	Х і
Крок 3.	Складання статистичного ряду розподілу.
	а) абсолютних частот;

 

Табл.3	Х і
	m i

б) відносних частот

 

Табл.4	Х і
	Wi	0,167	0,200	0,167	0,067	0,100	0,133	0,100	0,067

 

Крок 4.	Побудова полігонів (многокутників)
	а) абсолютних частот;

 

б) відносних частот;

Результати виконання п.1-3 для неперервної випадкової величини “зріст” представлені в табл.1’-2’:

 

Табл.1’	і	Х і			Табл.2’	і	Х і

 

Табл.3’

Х і

m i

Табл..4’

	Х і
	Wi	0,033	0,033	0,067	0,033	0,067	0,033	0,033	0,100	0,033	0,100	0,067	0,033	0,033	0,067	0,033	0,033	0,033	0,100	0,033	0,033

 

 

Крок 5. Побудова інтервальних статистичних рядів частот (всі інтервали однакової довжини h)

	[X1,	X2)	[X2,	X3)	[X3,	X4)	[X4,	X5)	[X5,	X6)
Х і	154,00	160,80	160,80	167,60	167,60	174,40	174,40	181,20	181,20	188,00
m i
Wi	0,167		0,267		0,333		0,167		0,067

 

 

Крок 6.	Побудова гістограм
	а) абсолютних частот;

б) відносних частот;