Якщо критичні точки симетричні відносно нуля, то маємо

Р( | К | >К_кр)= , де К_кр >0.

Іншими словами, Р(К >К_кр)= (К_кр>0) і Р(К < – К_кр)= .

Для кожного критерію узгодження є відповідні таблиці (див. додаток), які дозволяють знайти таку точку К_кр, яка задовольняє потрібну умову.

При знаходженні критичної області доцільно врахувати потужність критерію.

Потужністю критерію називають ймовірність належності критерію критичної області при умові, що правильна альтернативна гіпотеза.

Іншими словами, потужність критерію є ймовірність того, що основна гіпотеза буде відхилена, якщо альтернативна гіпотеза правильна.

Якщо рівень значущості вже обрано, то критичну область доцільно будувати так, щоб потужність критерію була максимальною. Виконання цієї вимоги забезпечує мінімальну ймовірність похибки другого роду.

Єдиним способом одночасного зменшення ймовірностей похибок першого та другого роду є збільшення об’єму вибірки.

 

Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу.

Критерій Пірсона.

Одним з найбільш поширених критеріїв узгодження, за допомогою яких перевіряють гіпотезу про вид розподілу ймовірностей, є так званий “критерій Х² ” (критерій хі -квадрат), який називають критерієм Пірсона. Розглянемо застосування цього критерію для перевірки гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Нехай вибірка об’єму n має такий інтервальний статистичний ряд розподілу:

xi-xi+1	x1-x2	x2-x3	…	xk-xk+1
mi	m1	m2	…	mk

Потрібно з рівнем значущості перевірити основну гіпотезу.

H₀ : генеральна сукупність розподілена нормально.

Критерієм перевірки цієї гіпотези беруть випадкову величину Х², яка у різних випробуваннях приймає різні, наперед невідомі значення.

Критичне значення цієї випадкової величини залежить від рівня значущості та ступенів вільності r її розподілу:

Х²_кр=Х²(). Ці критичні значення затабульовані (див. табл.1 у додатку) для різних та . Для розподілу генеральної сукупності за нормальним законом чисмло ступенів вільності буде r=m-3, де m – число часткових інтервалів варіантів.

Правило Пірсона

Нехай емпіричний розподіл задано у вигляді послідовності інтервалів (x_i,x_i+1) і відповідних частот m_i, i=1,…, k.

Для того щоб перевірити чи узгоджуються дані емпіричного розподілу з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності діють так:

1) обчислюють вибіркову середню і вибіркове середнє квадратичне відхилення , причому – середнє арифметичне кінців інтервалу ().

Тут відбувається перехід від заданого інтервального розподілу до дискретного розподілу рівновіддалених варіантів.

2) Обчислюють кінці нових інтервалів нормованої випадкової величини за формулами:

, , примочу , .

3) Обчислюють теоретичні частоти:

, де , де n -обсяг вибірки,

а - функція Лапласа (таблиця значень цієї функції є у додатку).

4) Знаходять спостережне значення критерію Пірсона

.

Зауважимо, що піднесенням до квадрату різниці частот усувають можливість взаємного знищення додатних і від’ємних різниць. Діленням на досягають зменшення кожного з доданків. В протилежному випадку сума була б настільки великою, що приводила б до відкидання гіпотези, навіть тоді, коли вона справедлива.

Можна довести, що при закон розподілу випадкової величини прямує до закону розподілу з r ступенями вільності, незалежно від того, якому закону розподілу підпорядкована генеральна сукупність.

5) Обчислюють число ступенів вільності , де к – число інтервалів вибірки.

6) Вибирають рівень значущості .

7) За знайденими та знаходять за таблицею критичних точок розроділу (див додаток) критичну точку .

Якщо , то гіпотеза приймається.

Якщо , то гіпотеза відхиляється.

ЗАВДАННЯ. Для рівня значущості перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу генеральної сукупності зрістів студентів за даними вибірки.