Вывод рабочей формулы

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ

 

Цель: Изучение законов сохранения энергии и импульса.

Задача: определить скорости пули с помощью крутильного баллистического маятника ФПМ-09.

Оборудование: крутильный баллистический маятник ФПМ-09

Краткая теория

Прямолинейное движение. - численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) материальной точки.

Закон сохранения импульса = const - импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Движение по окружности. - физическая величина, определяемая данным векторным произведением, называется моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной оси О (см. рис.1), где -- радиус вектор, проведенный из точки О в точку A; =m - импульс материальной точки; - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса:

L = p r sinα = mV r sinα = pl,

где α - угол между векторами и ;. l - плечо вектора относительно точки О.

Закон сохранения момента импульса: = const. Момент импульса замкнутой системы относительно ее центра масс не изменяется с течением времени.

 

Закон сохранения энергии. В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия системы с течением времени остается постоянной

Е = Т + Р = const,

где Е - полная механическая энергия, Т - кинетическая энергия, Р -потенциальная энергия.

 

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения системы. Кинетическая энергия для

поступательного движения: , вращательного движения

где J - момент инерции, ω - циклическая частота).

Потенциальная энергия системы тел - это энергия взаимодействия между телами системы (она зависит от взаимного расположения тел ивида взаимодействия между телами). Потенциальная энергия

упругодеформированного тела: ; при деформации кручения

где k – коэффициент жесткости (модуль кручения), х - деформация, α - угол кручения.

Абсолютно упругий удар - столкновение двух или нескольких тел, в результате которого во взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара вновь превращается в кинетическую энергию.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух или нескольких тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое, часть кинетической энергии преобразуется во внутреннюю энергию.

Крутильный маятник - это система, совершающая крутильные (поворотные) колебания, см. рис.2.

Крутильные колебания возбуждаются за счет действия упругих сил, возникающих при деформации кручения проволоки (нити), к которой прикреплено колеблющееся тело. Период колебаний T при малых углах отклонения крутильного маятника определяется моментом инерции и модулем кручения проволоки по формуле

, где J - момент инерции;

k – модуль кручения проволоки.

 

Т еорема Гюйгенса-Штейнера: Момент инерции тела относительно любой оси АВ вращения J равен сумме момента его инерции J_o относительно параллельной оси 00, проходящей через центр масс тела и произведению массы тела на квадрат расстояния d между осями 00 и АВ (см. рис. 3).

J = J₀+ md²

 

Вывод рабочей формулы

При выполнении работы необходимо, чтобы пуля при ударе залипала в мишени. Будем считать такой удар абсолютно неупругим и также будем считать, что силы трения в маятнике равны нулю.

На основании закона сохранения момента импульса для неупругого удара запишем:

mV l = (J₁ + ml²)ω, (1)

где mV - момент импульса пули до удара (m — масса пули, V - скорость пули),

J₁ + ml² – момент инерции системы маятник-пуля (J₁ - момент инерции собственно маятника, l - расстояние от оси вращения маятника до центра удара пули, ml²- момент инерции пули относительно оси маятника), ω - угловая скорость маятника.

На основании закона сохранения энергии для вращательного движения имеем:

½ (J₁ + m l²)ω²= ½ kα² (2)

k -модуль кручения проволоки, α - максимальный угол поворота маятника.

Используя (1) и (2) выразим скорость пули: левую и правую часть формулы (1) возьмем в квадрат

(m V l)² = (J₁ + ml²)² ω² →

подставим данное выражение в формулу (2):

→

Так как момент инерции пули намного меньше момента инерции маятника ml² «J_1,

(3)

Исключим из формулы (3) модуль кручения k и выразим момент инерции маятника J₁ через величины, которые можно измерить.Период колебаний при малых углах отклонения крутильного маятника

Меняя положение грузов на стержне маятника, изменим момент инерции маятника и запишем:

- для первого положения грузов на стержне маятника момент инерции – J₁

период колебаний

- для второго положения грузов на стержне маятника момент инерции - J₂

период колебаний.

Тогда имеем ; J₁ − J₂ = Δ J → J₂ = J₁ − Δ J; ;

Выразим k из формулы периода для первого положения грузов ;

Подставим два последних выражения в формулу (3):

.

Определим величину Δ J на основании теоремы Штейнера:

J₁ = J₀ + 2MR₁²; J₂ = J₀ + 2MR₂²,

Где J₀ - момент инерции маятника, когда центр тяжестей грузов совпадает с осью вращения маятника; J₁, J₂ - момент инерции маятника при положении грузов на расстоянии R₁, R₂ от оси вращения.

Разность между моментами инерции Δ J = 2M(R₁² - R₂²), тогда окончательное уравнение для скорости

T = t/n; t − показания миллисекундомера, n - число колебаний.

(рабочая формула),

где α - максимальный угол поворота маятника в момент удара для первого положения грузов на стержне маятника в радианной мере (по круговой шкале этот угол отмеряют в градусной мере φ= к, к – число делений по шкале, тогда α= (π/ 180)* φ

М - масса одного груза (173 г); m - масса пули; l - расстояние от оси вращения до центра удара пули; R₁, R₂ - расстояние от центров масс грузов до оси вращения маятника при первом и втором положении грузов на стержне, Т₁ и Т₂ - периоды колебаний маятника при первом и втором положении грузов на стержне, определяются по показаниям миллисекундомера T= t/n.