Закон нормального распределения

В математической статистике доказано и подтверждено многочисленными экспериментами, что для многих случайных процессов теоретическая частость подчиняется закону нормального распределения и определяется следующим выражением

. (13.13)

В нем функция

называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины или дифференциальной функцией нормального распределения. График этой функции в виде холмообразной кривой приведен на рис. 13.2. Этот график называется дифференциальной кривой нормального распределения или просто кривой нормального распределения. Запись означает, что плотность вероятности является функцией от непрерывной случайной величины и двух параметров распределения: - среднего арифметического значения и - среднего квадратического отклонения. Плотность вероятности следует рассматривать, как вероятность появления случайной величины на бесконечно малом отрезке в области ее определения, т.е. в точке. Там где , вероятность появления случайной величины максимальная. С увеличением разности эта вероятность уменьшается.

Чтобы определить саму вероятность появления случайной величины в некотором интервале , необходимо вычислить интеграл от плотности вероятности

, . (13.14)

Это выражение называется интегральной функцией нормального распределения или интегралом вероятности. В геометрическом смысле этот интеграл представляет собой площадь под кривой нормального распределения в пределах заданного интервала. Для достаточно узкого интервала согласно теореме о среднем

; . (13.15)

Плотность вероятности имеет следующие свойства:

1. Ось является асимптотой для ветвей ее графика.

2. При плотность вероятности имеет максимальное значение

. (13.16)

3. График функции имеет две точки перегиба и , которые находятся на расстоянии от оси симметрии (рис.13.2). Ординаты их равны

. (13.17)

4. Если случайная величина может принимать любые численные значения в интервале , то независимо от и

. (13.18)

Это свойство вытекает из положения, что вероятность появления случайной величины на бесконечно большом интервале равна единице.

Положение кривой относительно начала координат, и ее форма определяются двумя параметрами и . С изменением форма кривой остается прежней. Изменяется ее положение относительно начала координат (рис. 13.3). С изменением центр кривой остается на прежнем месте. Изменяется ее форма (рис.13.4). С увеличением кривая растягивается и уменьшается по высоте. Таким образом, как это уже было отмечено ранее, является мерой рассеяния случайной величины.