Теорема 2 (Зависимость риска от эффективности)

Тогда,

Следовательно,

,

что противоречит предположению и доказывает теорему.

Теорема доказана.

Замечание3. Предыдущее условие является необходимым, но не достаточным условием, а именно, при формировании некоторых портфелей с эффективностью меньше, чем максимальная все равно может иметь место взятие ценных бумаг в долг, но уже с целью уменьшения риска.

С увеличением эффективности портфеля риск увеличивается, причем если , то и риск .

Доказательство:

Нужно доказать, что

Рассчитаем зависимость риска от эффективности. Для этого решим систему уравнений:

(43)

Так как решение линейной системы уравнений от линейно входящих параметров зависит линейно, то

(44)

где - некоторые числа.

Подставим соотношения (44) в систему (43), приведем подобные и приравняем выражения слева и справа.

Получаются следующие системы уравнений относительно и :

(45)

(46)

Решим систему (46)

Введем обозначение:

,

тогда

Из равенств (44) получаем:

Рассчитываем теперь риск портфеля:

вспоминая, что

получим,

Подставим оценки для и и получим:

,

где

Таким образом мы получили:

и следовательно

,

что и требовалось доказать.

Теорема доказана.