Исключительный случай для оптимального портфеля осторожного инвестора

Ранее было выдвинуто предположение, что вектора m и e линейно - независимы. Предположим обратное, то есть

Таким образом, линейная зависимость векторов m и e означает, что на рынке ценных бумаг сложился исключительный случай, когда эффективности всех видов ценных бумаг одинаковы.

Теорема 3. Если на рынке продаются только ценные бумаги с одинаковой эффективностью, то можно составить оптимальный портфель лишь с такой же эффективностью.

Доказательство:

Достаточно доказать, что решение задачи

существует лишь при

Действительно, рассчитаем эффективность портфеля:

,

Теорема доказана.

С учетом теоремы 3 задача будет иметь вид:

Для решения задачи необходимо чтобы,

Так как

,

то необходимое условие выполнено. Воспользуемся теоремой о множителях Лагранжа:

Получаем систему уравнений:

Отсюда,