Поскольку

,

то применяя указанную теорему получаем:

,

откуда

,

или иначе

(55)

Подставим (55) в равенство (54) получим:

или

откуда

(56)

Алгоритм расчета:

1. Выбираем весовые коэффициенты k₁ и k₂ в зависимости от пожеланий инвестора.

2. Рассчитываем коэффициенты a₁₂, a_{22 .}

3. Рассчитываем (по формуле 56).

4. Рассчитываем x^* (по формуле 55).

5. Рассчитываем риск портфеля.

6. Рассчитываем эффективность портфеля.

Теорема 1. Структура согласованного оптимального портфеля зависит от коэффициента относительного предпочтения:

Доказательство:

Подставим из равенства (56) в равенство (55).

Получим:

или иначе

(57)

Теорема доказана.

В случае независимых ценных бумаг формулу (6) можно упростить.

,

где i=1,…,n.

Теорема 2. Выбором коэффициента относительного предпочтения можно получать портфель с либо заранее заданным риском, либо с заранее заданной эффективностью.

Доказательство:

1. Докажем, что выбором K_опт можно получить портфель с любой, заранее заданной эффективностью.

Зафиксируем m_порт. Из формулы (57)имеем:

То есть

Откуда

(58)

2. Аналогично можно доказать, что выбором K_опт можно построить портфель с любым уровнем риска, большим чем некоторое заранее заданное число.

(59)

Действительно, зададимся некоторым заданным уровнем риска s_порт, рассчитаем V_порт=s²_порт и найдем такое k_опт, чтобы уравнение:

имело решение.

Подставим (57) в (59):

Отсюда следует, что при

,

найдется соответствующее число .

Теорема доказана.

Замечание 1. Для каждого инвестора нужно составить свой коэффициент K_опт, который зависит от соотношения склонности к риску и желаемого размера прибыли.