Лекция 8. Комбинированный портфель

Оптимальный комбинированный портфель рассчитывается в случае, когда за счет одновременной покупки безрисковой и рисковых ценных бумаг хотят добиться новых инвестиционных качеств портфеля.

8.1. Запишем задачу составления комбинированного портфеля в виде стандартной задачи нелинейного программирования.

Предположим, что решено купить один вид безрисковой ценной бумаги с эффективностью r %- годовых, и n -видов ценных бумаг R_i с характеристиками, m_i, s_i, V_ij. Обозначим долю капитала, идущую на покупку безрисковой ценной бумаги x₀, и соответственно, x₁, x₂,…,x_n - доли, идущие на покупку рисковых ценных бумаг. Тогда вектор распределения всех долей имеет вид:

При расчете риска комбинированного портфеля учитываем лишь риски рисковых ценных бумаг и получаем для осторожного инвестора целевую функцию:

Где множество U определяется следующими ограничениями:

Причем к этим ограничением могут добавляться еще ограничения , но в этом случае задача не допускает точного решения, и поэтому в данной главе ограничения не отрицательности не учитываются.

В постановке задачи из экономических соображений следует m_порт>r₀, причем величина m_порт - r₀ – называется премией за риск.

8.2. Решение. Рассчитаем , и:

, ,

Вектора и - линейно-независимы, так как обычно существует такое то , что .

Применяя правило множителей Лагранжа, получаем:

или иначе

Используя, эти уравнения и уравнения ограничений получаем систему уравнений:

,

которое подставляем в первое уравнение