Цифровая фильтрация

В связи с развитием микроэлектронных вычислительных устройств и систем в настоящее время находят широкое применение методы цифровой фильтрации, реализуемые с помощью линейных стационарных цифровых фильтров. Принцип цифровой обработки сигналов иллюстрируется структурной схемой (рис.8).

Рис. 8. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов

С помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) входной сигнал преобразуется в дискретную последовательность цифровых отсчетов в виде двоичных кодовых комбинаций, отображающих результаты измерения мгновенных значений х(кТ) в моменты подачи синхронизирующих импульсов от генератора, задающего частоту дискретизации. Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел y(кТ). Причем в устройстве памяти, входящем в состав процессора, может храниться некоторое число предшествующих отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки. Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) в сочетании с аналоговым фильтром низких частот задействуется только в тех случаях, когда выходной сигнал требуется получать в аналоговой форме.

Теория линейной цифровой фильтрации основана на теории линейных стационарных систем, согласно которой входной сигнал преобразуется системой таким образом, что на ее выходе возникает колебание y(t), равное свертке функций х(t) и импульсной характеристики h(t):

. (33)

Линейным цифровым фильтром называется дискретная система (физическое устройство или программа ЭВМ), которая преображает последовательность {x_k} числовых отсчетов входного сигнала в последовательность {y_k} отсчетов выходного сигнала:

,

или сокращенно

.

Основным свойством линейного цифрового фильтра является преобразование суммы любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из соответствий

следует, что

. (34)

Применительно к дискретным сигналам, преобразуемым цифровыми фильтрами, под импульсной характеристикой понимается дискретный сигнал {h_k}, который является реакцией цифрового фильтра на «единичный импульс» (рис.9):

. (35)

Линейный цифровой фильтр стационарен, если при смещении единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

(36)

Рассмотренные свойства линейности и стационарности фильтра положены в основу алгоритма цифровой фильтрации. На основании (34) и (36) при подаче на вход фильтра сигнала {x_k}=(х₀, х₁, х₂,…) m -й отсчет выходного сигнала {y_k} может быть выражен соотношением

(37)

Формула (37) является основной в теории линейной цифровой фильтрации. Согласно этому выражению выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. При каждом отсчете цифровой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала. Роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики, что предполагает обладание фильтром некоторой «памяти» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Рис. 9. Реакция цифрового фильтра на единичный входной импульс

Для физически реализуемых фильтров коэффициенты h_-1, h_–2,… обращаются в нуль. Поэтому суммирование по (37) распространяется только на положительные значения индекса k, т.е. m=1, 2, …

Итак, в цифровом фильтре реализуется цифровое перемножение числовых значений дискретизированного входного сигнала {x_k} на весовые коэффициенты {h_k}, равные соответствующим значениям заданной импульсной характеристики фильтра. Перемножением соответствующих весовых коэффициентов на текущие и все k-1 предшествующие числовые значения сигнала {x_k} и суммированием получают числовое значение дискретизированного входного сигнала {y_k} в данный момент времени.

Алгоритм цифровой фильтрации представляют и в несколько иной форме, чем в формуле (37). Цифровой фильтр рассматривается как цифровое устройство, реализующее в общем случае решение уравнения в конечных разностях вида

, (38)

где х(kТ), y(kT), k=0,1,2, … - отсчеты входного и выходного сигналов, соответственно; a_i, b_i – коэффициенты фильтра.

Первое слагаемое в правой части (38) определяется действием обратной связи в структуре фильтра. Если хотя бы один из коэффициентов a_i¹0, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называют рекурсивным. Если же все коэффициенты a_i=0, то получим нерекурсивный (трансверсальный) фильтр, реализующий алгоритм:

. (39)

Передаточная функция H(z) цифровых фильтров определяется через z -образы выходного y(z) и входного x(z) сигналов (при нулевых начальных условиях):

. (40)

Получают z-образ применением преобразования Лапласа к дискретному сигналу, представленному выражением

. (41)

Применив преобразования Лапласа, получим:

. (42)

Приняв

, (43)

получим z -образ:

. (44)

Использовав формулы (38), (40), (44), получим выражение передаточной функции для рекурсивного цифрового фильтра:

. (45)

По формулам (39), (40), (44) получим выражение передаточной функции для нерекурсивного фильтра:

. (46)

Комплексные частотные коэффициенты передачи цифровых фильтров определяют из (45) и (46) при условии p=jw:

; (47)

. (48)

Определив модули и аргументы комплексов (47) и (48), можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ соответствующих фильтров.

Импульсная характеристика (весовая функция) h(kТ) цифровых фильтров связана с комплексным частотным коэффициентом передачи преобразованием Фурье:

; (49)

. (50)

В настоящее время цифровые фильтры нашли широкое применение, так как позволяют реализовывать сложные перестраиваемые алгоритмы обработки, что практически невозможно с помощью аналоговой техники. Цифровые фильтры превосходят аналоговые по точности обработки сигналов и другим характеристикам.

Недостатками цифровых фильтров являются более высокие, чем у аналоговых, сложность и стоимость, а также наличие методических погрешностей, связанных с дискретизацией и квантованием сигналов.

Лекция №19