Критерии исключения грубых погрешностей

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х, не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность и его исключают.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений.

Критерий "трех сигм" применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q < 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |х̅ -х_i| > 3S_x, где S_x — оценка СКО измерений. Величины х и S_x вычисляют без учета экстремальных значений x_i. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20... 50.

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение |(х̅ - x_i)/S_X| = b и сравнивается с критерием b_т, выбранным по табл. 7.1. Если b ³ b_т, то результат х_i считается промахом и отбрасывается.

Пример 7.1. При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива составили: 22, 24, 26, 28, 30 л на 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом.

Найдем среднее арифметическое значение расхода топлива и его СКО без учета последнего результата, т.е. для четырех измерений. Они соответственно равны 25 и 2,6 л на 100 км.

Поскольку n < 20, то по критерию Романовского при уровне значимости 0,01 и n = 4 табличный коэффициент b_т = 1,73. Вычисленное для последнего, пятого измерения b = |(25 – 30)|/2,6 = 1,92 > 1,73.

Критерий Романовского свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата измерения.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20). Тогда по теореме Бернулли [56] число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину К_ШS_x, будет n[l - Ф(К_Ш)], где Ф(К_Ш) — значение нормированной функции Лапласа для X = К_Ш. Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то n[1-Ф(К_ш)] = 1. Отсюда Ф(К_Ш) = (n -1)/n.

Значения критерия Шарлье приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.1

Значения критерия Романовского

q	n =4	n = 6	n = 8	n = 10	n = 12	n = 15	n = 20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	22,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Таблица 7.2

Значения критерия Шарльe

п
Кщ	1,3	1,65	1.96	2,13	2,24	2,32	2,58

Таблица 7.3

Значения критерия Диксона

n	Z_q при q, равном
0,10	0,05	0,02	0,01
	0,68	0,76	0,85	0,89
	0,48	0,56	0,64	0,70
	0,40	0,47	0,54	0,59
	0,35	0,41	0,48	0,53
	0,29	0,35	0,41	0,45
	0,28	0,33	0,39	0,43
	0,26	0,31	0,37	0,41
	0,26	0,30	0,36	0,39
	0,22	0,26	0,31	0,34

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство |х_i - х̅| > К_ШS_x.

Вариационный критерий Диксона удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд х₁, х₂,..., x_n (x₁ < х₂ <...< х_п). Критерий Диксона определяется как К_Д = (х_n - x_n_-1/(x_n –x₁). Критическая область для этого критерия Р(К_Д > Z_q) = q. Значения Z_f₍ приведены в табл. 7.3 [56].