Нелинейные модели

Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в §§4-5 получились системы линейных уравнений (4.4), (5.6). Однако в эконометрике приходится иметь дело и с такими функциональными зависимостями, неизвестные параметры которых входят в эти зависимости нелинейно. Например:

- параметр a в зависимостях

y=ax^a,

y=ae^a^x

в случае двух величин (x,y);

- параметры a₁, a₂, …, a_m в зависимости

(9.1)

и др.

Типичным примером является функция Кобба–Дугласа y = aL ^a K ^b, где a >0, 0<a<1, 0<b <1. Эта функция выражает зависимость произведенной продукции y от объема привлеченных трудовых ресурсов (числа рабочих, человеко-часов и т.п.) L и объема основных производственных фондов K.

При определении параметров a или параметров a ₁, a ₂, …, a _m методом наименьших квадратов указанные функции следует предварительно прологарифмировать. Например, логарифмирование степенной функции y=ax ^a дает уравнение

ln y= ln a+ a ln x,

линейное относительно величин A= ln a и a. Сделав замену переменных: Y =ln(y),

A =ln(a), X =ln(x), получим соотношение Y=A +a X, определение параметров которого по методу наименьших квадратов приведет к системе линейных уравнений. Линеаризация формулы (9.1) также достигается логарифмированием:

ln y= ln a+ a ₁ ln x₁+ a ₂ ln x₂+…+ a _m ln x_m,

Замена переменных: Y= ln y, A= ln a, X_i= lg x_i приводит к модели линейной множественной регрессии

Y=A+ a ₁X₁+ a ₂X₂+…+ a _mX_m.

Есть модели, которые не могут быть приведены к линейному по коэффициентам виду. Например:

Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого метода вычислений. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду.

Таким образом, мы различаем два класса нелинейных моделей:

- модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- модели, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примерами нелинейных моделей первого класса могут служить

- полиномы: y = a₀+a₁ x+a₂ x²+…+a_m x^m;

- гиперболическая зависимость: ;