Временные ряды

Временной ряд x (t) — это множество значений величины x, отвечающих последовательности моментов времени t, т.е. это функция t ® x (t), которая обычно считается случайной. Обсуждению свойств временного ряда как случайной функции, или случайного процесса мы посвятим §11. Пока же будем рассматривать одну из реализаций случайного процесса x (t) как функцию, заданную на некотором промежутке времени, например, на промежутке [0 ,Т ] или же в отдельных дискретных точках t=t_k (k= 0, 1, 2 ,…).

Во многих случаях можно принять шаг по времени D t постоянным, при этом значение величины x (t), отвечающее моменту времени t_k=k D t будем обозначать символом x_k или x_t (t= 0,1 ,…,N), полагая D t= 1.

Значения временного ряда формируются под воздействием большого числа факторов, которые условно можно разделить на три группы:

- факторы, формирующие тенденцию ряда — тренд;

- факторы, формирующие циклические колебания ряда;

- случайные факторы.

В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда (Y = T+S+E). Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда (Y = T*S*E). Основная задача эконометрического исследования — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений временного ряда или при построении модели взаимосвязи двух или более временных рядов.

При наличии во временном ряде тренда и циклических колебаний последующие значения временного ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными значениями временного ряда называют автокорреляционной. Определение корреляционной функции временного ряда будет сформулировано в §11.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость последовательных значений ряда от времени, или тренда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

- линейная y = a+bt;

- многочлен m -ого порядка: y = a+b₁ t+b₂ t²+…+b _m t ^m;

- гиперболическая

- экспоненциальная

- степенная: y = a t^b.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить методом наименьших квадратов, используя в качестве независимой переменной время t, а в качестве зависимой переменной — фактические значения временного ряда y_t. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Для анализа периодической составляющей непрерывного временного ряда можно использовать аппарат тригонометрических рядов Фурье

(10.1)

где T — период, т.е. x (t+T) = x (t), а коэффициенты ряда a_k, b_k вычисляются по формулам:

. (10.2)

Для описания периодической составляющей дискретного временного ряда x_t (t= 0,1,2 ,…, 2 N- 1) используют дискретное преобразование Фурье, которое обычно записывают в виде

При этом коэффициенты c_k вычисляются по формуле

Указанные вычисления легко выполняются на компьютере, например, в MS Excel предусмотрена опция «Анализ Фурье», размещенная в упоминаемой выше надстройке «Пакет анализа».