Решение уравнения с одним неизвестным

Определение корней уравнения вида f(x) = 0 даже в случае алгебраических уравнений выше третьей степени представляет достаточно сложную задачу. Трансцендентные уравнения чаще всего вообще не имеют аналитического решения.

Трансцендентные – это уравнения, содержащие различные нелинейные функции sin(x), cos(x), ln(x), e^x и т. п. Например, sin(2x) – ln(x²) + e^x = 0. В таких случаях единственным путем является получение приближенных решений. Обычно для нахождения приближенного решения используют итерационные методы. Все эти методы основаны на том, что вначале берут какое – то первое значение искомой переменной х подставляют его в правую часть уравнения и вычисляют ее. Если полученное значение существенно отличается от нуля, то берут следующее значение х (у каждого метода имеются свои правила определения этого значения) и опять вычисляется правая часть уравнения. Этих шагов будет сделано столько, сколько необходимо для того, чтобы правая часть после подстановки очередного значения х мало отличалась бы от нуля (в пределах требуемой точности). Решением таких уравнений является значение х, при котором правая часть обращается в нуль или становится очень близкой к нулю.

В MS Excel для решения таких уравнений используется удобный и простой для понимания инструмент Подбор параметра. Он реализует алгоритм численного решения уравнений с одной неизвестной. Весь процесс решения состоит из двух этапов:

– задание на рабочем листе двух ячеек: ячейки, куда помещается значение искомой переменной (влияющей ячейки) и ячейки, куда помещается выражение правой части уравнения (зависящей ячейки);

– ввод адресов влияющей и зависящей ячеек в диалоговом окне Подбор параметра с дальнейшим получением ответа.

К сожалению, с помощью процедуры Подбор параметра можно решить не все типы уравнений.

Прядок решения таких уравнений удобно рассмотреть на примере. Найти решение уравнения ln(x) = 0.

Первый этап.

– командами Вставка – Лист открыть новый рабочий лист,

– в выбранную ячейку, например А1, занести ориентировочное значение х, например, 3,

– в другую выбранную ячейку, например, В1 занести правую часть уравнения: ln(A1). Здесь вместо х записан адрес ячейки А1, в которой содержится значение переменной х,

– щелкнуть по кнопке ОК. В ячейке В1 появляется число 1,098612.

Второй этап.

– выполнить команды Сервис – Подбор параметра,

– в раскрывшемся окне Подбор параметра, в поле Установить в ячейке, щелчком мыши по ячейке В1 отобразить адрес этой ячейки, в поле Значение установить с клавиатуры значение правой части уравнения 0, а в поле Изменяя значение ячейки мышью указать адрес ячейки А1,

– щелкнуть по кнопке ОК.

После этих действий в ячейке А1 отобразится число 0,999872, что является приближенным решением уравнения ln(x) = 0. При этом в ячейке В1 будет представлено число: – 0,00013, что составляет погрешность вычисления. При х = 0,999872 значение ln(x) составляет – 0,00013, что близко к нулю. Известно, что точным решением является х = 1.