2014-01-24
1064
Опр. Сверткой функций f 1(t) и f 2(t) наз. интеграл от произведения этих функций 
f 1(t)* f 2(t). Перестановка функций не меняет значения свертки.
Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f 1(t) =: F 1(p), f 2(t) =: F 2(p), то
f 1(t)* f 2(t) =: F 1(p) F 2(p) (14)
Доказательство. Обе части формулы преобразований Лапласа F 1(p) = 
умножим на F 2(p): F 1(p) F 2(p) = 
. По теореме запаздывания (4) 
=: f 2(t - 
) или = =
, где t > . Тогда F 1(p) F 2(p) = 
=
=: 
,т.к. при > t f 2(t - ) = 0 по 10 свойству оригинала.
Пр.17 Найти оригинал изображения F (p) = 
.
Решение 1. Имеем произведение изображений двух функций t и eat. Поэтому оригинал равен свертке этих функций f (t) = t* eat =
= t 
- 
= J 1 - J 2,
J 1 = t 
= t 
- 
; J 2 = 
= 
=
= 
- 
= t 
- 
+ 
. Ответ f (t) = 
- - .
Решение 2. Представим изображение в виде суммы простейших дробей: F (p) ==
+
+
, тогда Ap (p – a) + B (p – a) + Cp 2 = 1
p 2 | A + C = 0 A = - 1/ a 2
p 1 | - aA + B = 0 
B = -1/ a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал
p 0 | - aB = 1 C = 1/ a 2 f (t) = - - +
