2014-01-24
1005
Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y (t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого и второго рода, имеющие соответственно вид
, (20)
. (21)
Интеграл, стоящий здесь, представляет собой сверку функций g (t) и y (t), что облегчает решение этих интегральных уравнений операционным методом. Пусть 
и 
. Пользуясь свойствами умножения изображений и линейностью, получим изображающие уравнения
, 
.
Отсюда находим неизвестное изображение F (p)
, 
,
по которому восстанавливаем искомую функцию y (t).
Пр. 22 Решить интегральное уравнение 
.
Решение. Левая часть уравнения есть свертка функций y (t) =: F (p) и 
=: 
. Учитываем, что t =:
, и переходим к изображению уравнения. F (p)=
F (p) = 
= 
=: 1- t = y (t) – решение уравнения.
Проверка: 
= 
= (-1 +) - (-1 - t + ) = t.
Устные экзаменационные вопросы
1. Какие требования предъявляются к функции – оригиналу?
2. Дать определение преобразования Лапласа.
3. Почему преобразование Лапласа обладает свойством линейности?
4. Прочитать теорему подобия.
5. Прочитать теорему запаздывания.
6. Прочитать теорему смещения.
7. Теорема о дифференцировании оригинала.
8. Теорема о дифференцировании изображения.
9. Теорема об интегрировании оригинала.
10. Теорема об интегрировании изображения.
11. Определение свертки функций и её главное свойство.
12. Какое преимущество дает операционное исчисление при решении дифференциальных уравнений?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Кафедральные, базовые, опорные конспекты лекций
Авторский коллектив: Арсланов Ф.Х., Гарифьянов Ф.Н., Гимадиев Р.Ш., Григорян С.А., Желифонов М.П., Никитин А.С., Хамзин А.А.
Кафедра «Высшей математики» КГЭУ
2006 г.
