Таблица изображений
№ | f (t) при t >0 | F (p) | № | f (t) при t>0 | F (p) |
t cos at | |||||
t sin at | |||||
eat | |||||
cos at | |||||
sin at | |||||
ezt cos at | |||||
ezt sin at | |||||
eat |
Если изображение является дробно-рациональной функцией F (p) = и m < n,то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = . Корни многочлена pi могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа (p 2 + p + ). В результате F (p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал.
Пр. 10 Найти оригинал функции F (p) = .
= = + ½=: et cos 2 t + ½ et sin 2 t
Пр. 11 Найти оригинал функции F (p) = .
= = + = =
p2 | A + B = 0
p1 | 2A – 2B + C = 0 A = 1/12, B = -1/12, C = - 1/3
p0 | 4A – 2C = 1
= - = -
Из формул № 3, 6, 7 оригинал f (t) = e 2 t - e-t (cos t +sin t ).
Если в F (p) только простые нули: = , то разложение изображения упрощается
F (p) = , где (6)
Пр.12 Найти оригинал функции F (p) =
Вычисляем производную от знаменателя = [ p (p – 1)(p – 2)(p – 3) ]` =
= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p (p – 2)(p – 3) + p (p – 1)(p – 3) + p (p – 1)(p – 2),
находим её значения в нулевых точках v 4`(0) = - 6, v 4`(1) = 2, v 4`(2) = - 2, v 4`(3) = 6, определяем коэффициенты A 0 = - 1/6, A 1 = 1, A 2 = - 3/2, A 3 = 2/3
и по формуле (6) расписываем разложение изображения на простые дроби
F (p) = =: + - + .
Если F (p) разлагается в сходящийся ряд
F (p) = + + +... + +...,
то его оригинал находится по формуле
f (t) = + + +... + +...
Этот ряд сходится при всех значениях t.
Пр.13 Найти оригинал функции F (p) = .
Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
== - + -... Этот ряд сходится при | p | > 1
По формуле № 2 получаем оригинал f (t) = - + - +...