double arrow

Отыскание оригинала по изображению


Таблица изображений

f(t) при t>0 F(p) f(t) при t>0 F(p)
t cos at
t sin at
eat
cos at
sin at
ezt cos at
ezt sin at
eat

Если изображение является дробно-рациональной функцией F(p) = и m < n ,то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = .Корни многочлена pi могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа ( p2 + p + ). В результате F(p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал.

Пр. 10 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + ½=:etcos 2t + ½ etsin 2t

Пр. 11 Найти оригинал функции F(p) = .

= = + = =

p2 | A + B = 0

p1 | 2A – 2B + C = 0 A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3

p0 | 4A – 2C = 1

= - = -

Из формул № 3, 6, 7 оригинал f(t) =e2t - e-t (cos t+sin t) .

Если в F(p) только простые нули : = ,то разложение изображения упрощается

F(p) = , где ( 6 )




Пр.12 Найти оригинал функции F(p) =

Вычисляем производную от знаменателя = [ p(p – 1)(p – 2)(p – 3) ]` =

= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p(p – 2)(p – 3) + p(p – 1)(p – 3) + p(p – 1)(p – 2),

находим её значения в нулевых точках v4`(0) = - 6 , v4`(1) = 2 , v4`(2) = - 2 , v4`(3) = 6 , определяем коэффициенты A0 = - 1/6 , A1 = 1, A2 = - 3/2, A3 = 2/3

и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби

F(p) = =: + - + .

Если F(p) разлагается в сходящийся ряд

F(p) = + + + . . . + + . . . ,

то его оригинал находится по формуле

f(t) = + + + . . . + + . . .

Этот ряд сходится при всех значениях t .

Пр.13 Найти оригинал функции F(p) = .

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

== - + - . . . Этот ряд сходится при |p| > 1

По формуле № 2 получаем оригинал f(t)= - + - + . . .







Сейчас читают про: