Замечания

1) f (t) может быть комплексной функцией действительного переменного t: f (t) = f ₁(t) + if ₂(t), где f ₁(t) и f ₂(t) – действительные функции.

2) Умножение f (t) на любую степенную функцию вида не меняет ее степени роста.

3) Функции вида , , (k > 0) не могут рассматриваться в операционном исчислении, поскольку для них неравенство (1) не может быть выполнено для всех ни при каких постоянных М и .

Определение 2. Преобразованием Лапласа заданной функции действительного переменного t, которая может принимать и комплексные значения, называется преобразование, ставящее в соответствие функции функцию F (p) комплексного переменного р, определенную с помощью интеграла:

. (2)

Данный интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция F (p) называется образом или лапласовым изображением функции f (t) или просто изображением функции f (t).

Соответствие между оригиналом f (t) и его изображением F (p) символически записывается в виде: , или (3)

Уславливаются за значение оригинала f (t) во всякой его точке разрыва I рода t ₀ принимать полусумму его предельных значений слева и справа от этой точки: при ; при t ₀= 0. При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями взаимно однозначно, т.е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно.

Несобственный интеграл зависит от переменного р = α + iβ как от параметра и сходится не при всех значениях р, например, если , а , то интеграл расходится. Следовательно, стоит вопрос о сходимости интеграла и области определения F (p).

Теорема 1. Интеграл сходится абсолютно в области , где – показатель степени роста f (t), причем в области этот интеграл сходится равномерно.

(без доказательства)

Замечание. Сходимость интеграла обеспечивает условие (1).

Теорема 2. Изображение Лапласа F (p) является аналитической функцией в полуплоскости , где – показатель степени роста оригинала f (t).

Лемма 1. Пусть функция f (t) действительного переменного t определена для всех , и пусть существует такое комплексное число p ₀, что сходится интеграл , тогда для всех р, удовлетворяющих условию , сходится и интеграл Лапласа .

(без доказательства)

Этой леммой расширили класс функций f (t), допускающих преобразование Лапласа. В качестве основного класса функций f (t), для которых строится преобразование Лапласа, рассматриваются функции, удовлетворяющие условию леммы.

Область определения F (p). С помощью преобразования (2) функция F (p) определена в полуплоскости комплексной плоскости (р) правее прямой , параллельной мнимой оси, т.е. в области .

Не всякая функция F (p) является изображением некоторой функции. Например, не существует оригинала для функции tg, так как полюсы тангенса расположены на всей вещественной прямой, а не справа от некоторой прямой .