Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса

Лекция 2. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница и оценка остаточного члена знакочередующегося ряда.

Если ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов то этот ряд называется знакопеременным рядом.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится его “модульный” ряд Если же ряд сходится, а его “модульный”^[1] ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Теорема 1 (об обычной сходимости абсолютно сходящегося ряда). Если сходится модульный ряд, то сходится и сам ряд

Доказательство. Так как сходится ряд то для него справедлив признак Коши сходимости:

Тогда для ряда и указанного имеем

т.е. для ряда также выполняется признак Коши сходимости, поэтому он сходится. Теорема доказана.

Например, ряд абсолютно сходится, так как сходится его модульный ряд В качестве условно сходящегося ряда можно указать ряд (его сходимость вытекает из теоремы Лейбница, сформулированной ниже). Его модульный ряд расходится.

С абсолютно сходящимися рядами можно обращаться так же, как и с конечными суммами, а именно: имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом переставлять слагаемые; при этом вновь полученный ряд будет также сходиться абсолютно к той же сумме, что и исходный ряд.

2. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом группировать члены, заключая их в скобки; при этом ряд, полученный из просуммированных членов в скобках, будет также абсолютно сходиться к той же сумме, что и исходный ряд.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед заданное число (может быть равным), можно так переставить члены этого ряда, что вновь полученный ряд будет сходиться к числу

Ряд называется знакочередующимся, если все его члены и чередуются знаками, т.е.

Таким образом, знакочередующийся ряд имеет вид

Теорема Лейбница. Пусть в знакочередующемся ряде (1) общий член стремится к нулю, т.е. и последовательность строго убывает, т.е.

Тогда ряд (1) сходится и его сумма и й остаток удовлетворяют неравенствам При этом имеет знак (знак первого отброшенного члена).

Доказательство. Запишем частичную сумму с чётными номерами и расставим в ней скобки следующим образом:

Так как имеют место неравенства (2), то из первого представления в виде суммы скобок получаем, что и т.е. последовательность строго возрастает. Из второго представ-

ления (3) и неравенств (2) выводим неравенства Таким образом, последовательность строго возрастает и ограничена сверху, поэтому (см. свойство 7 предыдущей лекции) она имеет конечный предел Так как и так как то существует предел Значит, существует пре-

дел всей последовательности и поэтому ряд (1) сходится к сумме

Аналогично показываем, что последовательность частичных сумм ряда (1) с нечетными номерами:

строго убывает. Вследствие строго убывания последовательности и строго возрастания последовательности и стремления их к пределу будут выполняться неравенства поэтому (в частности при) будем иметь

Первая часть теоремы доказана. Применив её к знакочередующемуся ряду легко докажем и вторую часть теоремы, т.е. неравенство Теорема полностью доказана.

Пример 1. Вычислить сумму ряда с точностью до 0,01.

Решение. Данный ряд сходится абсолютно, так его модульный ряд является обобщенным гармоническим рядом с показателем В то же время данный ряд является знакочередующимся. Для него выполнены все условия теоремы Лейбница, поэтому его остаток может быть оценен следующим образом: Мы хотим, чтобы Для этого надо взять такое чтобы откуда выводим, что Значит, частичная сумма будет решением нашей задачи.