Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

· Возведение комплексного числа в целую положительную степень Формула Муавра

в алгебраической форме zⁿ= (а+i·b) ⁿ – по формулам сокращенного умножения;

в тригонометрической форме [ r (cosj+isinj)] ⁿ = rⁿ (cosnj+isinnj).

при возведении комплексного числа (в тригонометрической форме) в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

· Извлечение корня n -ой из комплексного числа

в алгебраической форме не представляется возможным;

в тригонометрической форме

Определение: Корнем п -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, п -я степень которого равняется подкоренному числу, т. е.

Придавая k значения 0, 1, 2,..., n -1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2 p, и, следовательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Итак, корень n -й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Корень n -й степени из действительного числа А, отличного от нуля, также имеет п значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме:

A= | A |(cos 0 +isin 0) при А> 0,

A= | A |(cosp+isinp) при А< 0.

Например: Вычислить все корни третьей степени из комплексного числа z =-3-3 i.

Например: Вычислить все корни второй степени из комплексного числа z =-9.