2014-01-25
850
Определение 16. Скалярным произведением упорядоченной пары ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой, то скалярное произведение считается равным нулю.
Обозначение: (
), или 
. Из определения = 
(1)
Свойства скалярного произведения.
10. Скалярное произведение любой упорядоченной пары векторов определено и однозначно.
20. = 
для любых векторов 
и 
(коммутативный закон).
Доказательство. Если = 
или = , то = 0 и = 0, т.е. равенство верно.
Пусть ¹ и ¹ . Тогда = = 
.
30. Если ¹ и ¹ , то 
= пр
. Если ¹ , а = , то тоже = пр. Следовательно, при ¹ имеет место формула = 
пр (2)
40. = 0 Û либо = , либо = , либо ^ .
50. (+ )×
= 
, для любых векторов , и .
Доказательство. Если вектор 
, то доказываемое равенство имеет вид 0 = 0 + 0, т.е. оно верно. Пусть 
. Тогда (по формуле 2)
(+ )×= 
= 
.
60. 
для любых векторов , и любого действительного числа a.
Доказательство. Если либо a = 0, либо хотя бы один из векторов , нулевой, то равенство очевидно. Пусть a ¹ 0 и векторы , нулевые. Тогда
.
Произведение 
называется скалярным квадратом вектора и обозначается
= 
.
70. = 
для любого вектора . Отсюда следует 
(3)
80. Если ¹ , то 
(4)
Формула (4) следует из (2).
90. Если ¹ и ¹ , то 
(5)
Замечание. Формулы 40, 70 – 100 определяют применение скалярного произведения для решения задач.
100. (Скалярное произведение в координатах)
Пусть В = 
- базис, 
, 
. Тогда
)
= 
. (6)
Если базис В = 
ортонормированный, то
= 
(7)
Из формулы (3) получаем, что в ортонормированном базисе
(8)
Задача 7. В параллелограмме АВСD угол ÐDАВ = 600, 
, 
,
 , AB = 6, AD = 4. Найдите ÐQNP (рис. 15).
Решение. Решим задачу векторным методом. Для этого выберем базис  , где  ( ),  . Угол ÐQNP равен углу между векторами  и  . Используя формулу (5), получим Cos(ÐQNP) =  . Найдём эти
| 
Рис. 15
|
векторы: 
, 
. Поэтому 
. Так как 
= 22 = 4, 
= 22 = 4, (
= 2×2×Cos600 = 2, то 
= 
. Аналогично, 
, 
. Следовательно,
Cos(ÐQNP) = 
.
Задача 8. Докажите, что в правильном тетраэдре а) противоположные рёбра взаимно перпендикулярны, б) отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер, перпендикулярен к ним и найдите длину этого отрезка, если длина ребра равна а.
Решение. Решим задачу векторным методом. В качестве базиса выберем векторы  ,  ,  . Так как тетраэдр правильный, то достаточно рассмотреть одну пару противоположных рёбер и один из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер. Покажем, что  ,  и  . Для этого достаточно найти скалярные произведения  ,  и  . Выражая векторы через базис, получим  ,  ,
 . Получим =  =
| 
Рис. 16
|
= 
= а×а× Cos600 - а×а× Cos600 = 0. Следовательно, . Аналогично, = 
Отсюда . Аналогично доказывается, что .
По формуле (8) получаем, что 
.
