Векторное произведение векторов. Определение 20. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется положительно ориентированной (правой), если при откладывании этих векторов от одной

Определение 20. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется положительно ориентированной (правой), если при откладывании этих векторов от одной точки кратчайший поворот от вектора к вектору с конца вектора виден против часовой стрелки. В противном случае данная тройка векторов называется отрицательно ориентированной (левой).

Определение 21. Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

• 
• ,
• упорядоченная тройка векторов положительно ориентирована.

Если векторы и коллинеарны, то их векторным произведением считается нулевой вектор.

Векторное произведение упорядоченной пары векторов и обозначается или [.

Примеры. 1. Пусть - положительно ориентированная тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов (рис. 20). Найдём их попарные векторные произведения.

Пусть . Тогда . Кроме того , и тройка - правая. Следовательно, , т.е. . Аналогично получим, что , , , , . 2. АВСD - правильный тетраэдр с ребром 1 (из точки D обход точек А, В,С виден против часовой стрелки), [DO] - его высота. Найдём .

Рис. 20

Решение. В правильном тетраэдре с ребром 1 длина высоты равна (т.е. ).

Пусть . Тогда (рис. 21). Кроме того, , , т.е. ½½. Так как тройка векторов должна быть правой, а тройка левая, то вектор противонаправлен с вектором . Сравнивая длины векторов и , получаем .

Рис. 21

Свойства векторного произведения векторов.

1⁰. Векторное произведение любой упорядоченной пары векторов определено и однозначно.

2⁰. = - для любых векторов и .

3⁰. для любых векторов и и любого действительного числа a.

4⁰. для любых векторов , и .

5⁰. = Û и коллинеарны.

60. Если векторы и не коллинеарны, то длина вектора, равного их векторному произведению, численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Доказательство. (рис. 22). 70. (Векторное произведение в координатах).

Рис. 22

Пусть В = - базис, , . Тогда

= )=

(9)

Если базис В = ортонормированный, то, используя пример 1, получим

= (10)

Задача 9. В ортонормированном базисе , , . Найдите () и .

Решение. Используем формулу (10). Получим

= , () = .

= , .

Из результатов решения этой задачи видно, что ()не обязано быть равно , т.е. векторное умножение векторов не подчиняется ассоциативному закону.

Задача 10. В параллелограмме АВСD угол ÐDАВ = 60⁰, , , , , AB = 6, AD = 4. Найдите площадь четырёхугольника MQNP и длину его высоты QE, опущенной из вершины Q.

Решение. Разобьём четырёхугольник MQNP на два треугольника, тогда . Так как длины векторов и и угол между ними известны, то выберем базис , . Тогда .

Рис. 23

Отсюда . .

. Найдём векторные произведения.

Отсюда

.

Аналогично,

Отсюда .

Следовательно, .

Искомая высота является высотой в треугольнике QNP. Следовательно,

. Найдём длину вектора Получим = = . Следовательно,

.