Различные уравнения прямой на плоскости

Прямая и плоскость.

Любая прямая на плоскости определяется линейным уравнением

Ах + Ву + С = 0, А² + В² ≠ 0, (9)

которое называется общим уравнением прямой (здесь А и В – координаты вектора нормали , перпендикулярного этой прямой).

Если прямая задается точкой М (х ₁; у ₁) и вектором нормали = (А; В), то ее уравнение запишется в виде

А (х – х ₁) + В (у – у ₁) = 0. (10)

Уравнение прямой, проходящей через две точки М (х ₁; у ₁) и N (х ₂; у ₂) имеет вид:

Частным случаем этой формулы является уравнение прямой, проходящей через точки М (а; 0) и N (0; b), называемое уравнением прямой в отрезках:

Каноническим уравнением прямой

лучше пользоваться тогда, когда прямая задана точкой М (х ₁; у ₁) и направляющим вектором

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

y = kx + b, (14)

здесь k = tgθ тангенс угла наклона прямой к оси Ох.

Уравненение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М (х ₁; у ₁) имеет вид:

y – y ₁ = k (x – x ₁) (15)

Угол между двумя прямыми l ₁ и l ₂ вычисляются по формуле:

где k ₁ и k ₂ – угловые коэффициенты прямых l₁ и l_{2 .}

Расстояние d от точки М (х ₀; у ₀) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0, вычисляется по формуле:

Уравнение

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ + (А ₂ х + В ₂ у + С ₂ ) = 0, (18)

где – числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения прямых

l_i: А_i х + В_i у + С_i = 0, i = 1; 2. (19)

При различных получаются различные прямые, принадлежащие пучку прямых, с центром в точке пересечения прямых l ₁ и l _2.

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями (19).

Условия пересечения, параллельности или совпадения этих прямых приведены в следующей таблице.

Взаимное расположение	Условия
Пересекаются
Параллельны (l 1 ≠ l 2 )
Совпадают