Линейное уравнение первого порядка

Определение. Линейным неоднородным уравнением первого порядка называется уравнение вида: (2)

где и известные функции, непрерывные в некотором интервале . Если , то получим: (3)

Уравнение (3) называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2).

Линейное однородное уравнение (3) является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

общее решение уравнения (3).

5.4. Метод Бернулли

Решение неоднородного уравнения (2) будем искать в виде произведений двух функций: , где и пока неизвестные функции.

.

Подставим в уравнение (2): .

Сгруппируем слагаемые с и: .

Потребуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и тогда уравнение распадается на два уравнения: (4)

Из первого уравнения системы (4) найдем функцию v:

.

Подставим найденную v во второе уравнение системы (4):

;

Значит, общее решение уравнения (2) следующее:

.

Пример 4. линейное неоднородное уравнение.

Решение. Будем искать решение в виде , .

;

.

Подставим во второе уравнение системы:

; .

Ответ: .