Дифференциальные уравнения I порядка

Общий вид дифференциального уравнения I порядка:

(1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно производной, то его можно переписать: (2)

Определение. Функция , дифференцируемая по и непрерывная по , где , называется общим решением уравнения (1), если выполняются условия:

1) для любого эта функция является решением (1);

2) когда пробегает весь интервал , мы получаем все решения данного уравнения.

Определение. Частным решением уравнения (1) называется любое его решение, которое получается из общего решения при фиксированном .

Геометрический смысл общего и частного решений

Пусть функция есть общее решение уравнения (1). Зафиксируем , тогда получим функцию одного переменного . График этой функции называется интегральной кривой. Если изменить, то получим семейство интегральных кривых.

Вернемся к задачам 1) и 2) и построим интегральные кривые:

1) общее решение дифференциального уравнения.

При , задавая , получим кубические параболы следующего вида:

2) общее решение дифференциального уравнения.

Замечание. Не всегда при интегрировании решение дифференциального уравнения получается в явном виде.

Чаще всего, это решение имеет

вид: и называется общим интегралом данного дифференциального уравнения.

4. Задача Коши

Решив задачу 1), мы получили закон движения при . Но с точки зрения физики этот закон неопределенный, т.к. он содержит – произвольную постоянную. Чтобы окончательно определить закон движения, нужно наложить условия на . Например, при пусть . Тогда закон .

Таким образом, мы пришли к задаче с начальным условием.

Задача Коши:

Пусть дано дифференциальное уравнение: (1)

и два числа и , которые мы будем называть начальными данными. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: или .

Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что интегральная кривая проходит через точку .

Пример. . Пусть . Уравнение с начальными условиями – это задача Коши.

Решение. . Получим частное решение – решение задачи Коши. , которая проходит через точку .

Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Если функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области , то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая.