2014-01-25
689
Уравнения с разделяющимися переменными
Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, если в нем коэффициент при 
зависит только от 
, а при 
зависит только от 
. Общий вид:
. Далее проинтегрировав, получим решение: 
.
Пример 1-2.
1) 
;
общий интеграл (концентрические окружности).
2) 
.
Интеграл справа не берется в конечном виде. В этом случае говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах.
Определение. Квадратурой называется взятие неопределенного интеграла в уравнении.
Уравнение является интегрированным в конечном виде, если его общий интеграл выражается через элементарные функции или квадратуры.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, в котором коэффициенты при и распадаются на множители только от одной переменной.
Общий вид: 
.
Используя правило умножения и деления, разделив на 
, получим уравнение с разделенными переменными: 
.
Замечание. Здесь предполагается, что 
.
Пример 2. 1) 
. Разделяя дифференциалы:
.
2) 
; 
.
Определение. Функция 
называется однородной функцией k -го измерения, если при замене в ней на 
, а на 
выполняется равенство: 
.
Пример 1. 
.
т.е. функция второго измерения. Если 
, то получаем однородную функцию нулевого измерения, т.е. имеет место равенство:
при любом 
. Положим 
, получим:
.
Это говорит о том, что однородную функцию нулевого измерения можно представить как функцию отношения 
, т.е. 
.
Определение. Уравнение 
называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения.
Общее решение однородного уравнения находится с помощью подстановки 
, где 
новая переменная, зависящая от , т.е. 
.
Однородное уравнение перепишем в виде: 
(1)
Из замены следует: 
.
Подставляя замену в уравнение (1), получаем:
; 
.
Таким образом, однородное уравнение с помощью подстановки всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 2. Решить уравнение: 
.
Решение. 
.
Имеем однородную функцию нулевого измерения. Замена:
. Подставляем в уравнение:
; 
Возвращаясь к замене:
Однородное уравнение можно записать в дифференциальной форме:
(общий вид),
где 
и 
однородные функции одного измерения.
Пример 3. 
. М и N – это функции второго измерения, следовательно, уравнение однородное. Делаем замену:
. Здесь лучше найти 
.
Подставляем: 
.
.
