Пример 12 аналитическое выравнивание ряда динамики

ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ (ТРЕНДА)

ВЫЯВЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНОЙ

Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя во времени.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и в том числе различного рода случайных обстоятельств. Выявление основной закономерности изменения уровней ряда предполагает ее количественное выражение, в некоторой мере свободное от случайных воздействий. Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции - методами выравнивания. Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления - укрупнение интервала динамического ряда. Первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При этом отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).

Выявление основной тенденции может быть осуществлено также методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируем укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней . Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни ; второй - уровни и т.д. Интервал сглаживания «скользит» по динамическому ряду с шагом, равным единице. По сформированным укрупненным интервалам определяем сумму значений уровней, на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Поэтому технически удобнее укрупненный интервал составлять из нечетного числа уровней ряда. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней создает неудобство, вызываемое тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. В этом случае необходима дополнительная процедура центрирования средних. При использовании приема скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом на уровней. Покажем порядок расчета скользящих средних.

Имеются следующие данные, характеризующие динамику производства продукции предприятия по месяцам (графы 1 и 2 таблицы, приведенной ниже):

Месяц	Объем продукции, млн. руб.	Скользящая сумма трех членов	Скользящая средняя
Январь	6,3	-	-
Февраль	9,3	25,8	8,6
Март	10,2	31,2	10,4
Апрель	11,7	34,5	11,5
Май	12,6	36,0	12,0
Июнь	11,7	38,3	12,8
Июль	14,0	38,3	12,8
Август	12,6	39,6	13,2
Сентябрь	13,0	39,9	13,3
Октябрь	14,3	40,8	13,6
Ноябрь	13,5	42,3	14,1
Декабрь	14,5	-	-

Требуется произвести сглаживание ряда, применяя трехмесячную скользящую среднюю.

Решение:

Чтобы рассчитать первую скользящую среднюю, находим сумму валовой продукции за январь, февраль, март (графа 3) и делим ее на 3:

Найденную среднюю к февралю (т.е. к среднему из трех суммируемых членов – графа 4). Для отыскания второй скользящей средней находим сумму валовой продукции за февраль, март, апрель и делим на 3:

Найденную среднюю относим к марту и т.д.

Результаты подсчета скользящих сумм и средних показаны в графах 3 и 4 таблицы.

Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического, ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени где уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени. Наиболее часто для аналитического выравнивания используются следующие виды трендовых моделей:

1. Линейная

2. Парабола второго порядка

3. Парабола третьего порядка

4. Показательная

5. Гиперболическая

6. Логарифмическая парабола

7. Логистическая кривая

8. Кривая Гомперца

Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Основанием для выбора вида кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться также на результаты предыдущих исследований в данной области.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней динамического ряда.

При выборе формы уравнения следует исходить и из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия.

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида:

где порядковый номер периодов или моментов времени.

Параметры и прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений для нахождения параметров в данном случае имеет вид:

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. При нечетном числе уровней ряда динамики для получения уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие ранее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1,-2,-3 и т.д.), а позже - натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и т.д.)

Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -1,-3, -5 и т.д., а нижней-+1,+3,+5, и т.д. При этом условии будет равна нулю и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом:

Тогда получим:

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики строительства жилья жилищно-строительными кооперативами России.

Годы	Построено, млн.кв.м.	Условное время			Выравненные уровни ряда
	2,9	-2	-5,8		2,76
	2,4	-1	-2,4		2,49
	2,1				2,22
	1,9		1,9		1,95
	1,8		3,6		1,68
Итого	11,1		-2,7		11,10

Используя итоги граф 2, 4 и 5, определим параметры уравнения прямой

.

Уравнение прямой ряда динамики:

Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции. Возможность экстраполяции обеспечивается двумя обстоятельствами:

1) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем;

2) тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением. Экстраполируя при , находим уровень 1995 года, равный млн.кв.м.

При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так называемые доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется в общем виде так:

где - среднее квадратическое отклонение от тренда;; - табличное значение - критерия Стьюдента при уровне значимости; - соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда; - число уровней ряда; - количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой = 2).

Используя данные, рассчитаем среднюю квадратическую ошибку линейного уравнения тренда: млн.кв.м. Величина относительной ошибки составит:

Следует помнить, что прием аналитического выравнивания содержит в себе ряд условностей, связанных прежде всего с тем, что уровни, характеризующие тот или иной динамический ряд, рассматриваются как функция времени. В действительности же развитие явлений обусловлено не тем, сколько времени прошло с отправного момента, а тем, какие факторы влияли на развитие, в каком направлении и с какой интенсивностью. Развитие явлений во времени выступает как внешнее выражение этих факторов, как их суммарное действие, оказывающее влияние на изменение уровня в отдельно взятые промежутки или моменты времени. Выявить основную тенденцию развития явления методом наименьших квадратов можно лишь тогда, когда выяснено, что изменяющиеся во времени процессы протекают на всем рассматриваемом промежутке времени одинаково, что их количественное и качественное изменение происходит под действием одного и того же комплекса основных факторов, определяющих движение данного ряда динамики. Экстраполяция на отдаленные даты подвержена более значительным ошибкам, чем краткосрочная экстраполяция.