double arrow

Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов


Смешанным произведением трех векторов называется произведение вида , где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор.

Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.

Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменяется:

1) если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке:

2) если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: , поэтому можно записать .

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: ; ; .

3. Смешанное произведение обращается в нуль, если

1) хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;

2) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

3) три перемножаемых вектора компланарны.




Вычисление смешанного произведения

трех векторов, разложенных по ортам

; ; , то

Вычисление объема четырехгранной пирамиды (тетраэдр)

Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки , , , , то полагая ; ; , получим .

Условие компланарности трех векторов

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: или .







Сейчас читают про: