Множественная линейная регрессия. Рис. 1. Линии регрессии Y по Х и X по Y в системе прямоугольных координат

Рис. 1. Линии регрессии Y по Х и X по Y в системе прямоугольных координат

Линии регрессии пересекаются в точке О (х, у), с координа­тами, соответствующими средним арифметическим значениям корреляционно связанных между собой переменных X и Y. Линия АВ, проходящая через точку О, соответствует линейной функци­ональной зависимости между переменными величинами X и Y, когда коэффициент корреляции между X и Y равен r_xy. = 1. При этом наблюдается такая закономерность: чем сильнее связь меж­ду X и Y, тем ближе обе линии регрессии к прямой АВ, и, на­оборот, чем слабее связь между этими величинами, тем больше линии регресии отклоняются от прямой АВ. При отсутствии свя­зи между X и Y линии регрессии оказываются под прямым углом по отношению друг к другу и в этом случае r_xy = 0,

Количественное представление связи (зависимости) между X и Y (между Y и X) называется регрессионным анализом. Главная задача регрессионного анализа заключается, соб­ственно говоря, в нахождении коэффициентов a0, b0, а1 и b1 и определении уровня значимости полученных аналитических выражений (12.1) и (12.2), связывающих между собой пере­менные X и Y.

Пример 1. В исследовании Ф. Гальтона (который и ввел в науку понятие регрессии) был измерен рост 205 родителей и 930 их взрослых детей (см. таблицу 3.3). При этом, если за Y взять рост ребенка, а за X рост родителя, уравнение регрессии, связывающее рост ребенка с ро­стом родителей, имеет вид:

(12.14) где X и У средние по всей выборке испытуемых.

Таким образом, зная величины средних по всей выборке и рост одного из родителей — X_i, из уравнения 12.14 можно под­считать величину Y, т.е. рост ребенка.

Пример 2. Психологи выявили взаимосвязь между успешностью обучения математике Y и показателем невербального интеллекта X. Было получено следующее уравнение регрессии:

Y= 1 +0,025 • X (12.15)

Предположим, что показатель невербального интеллекта уча­щегося равен 132, тогда согласно уравнению регрессии (12.15) можно предсказать его показатель средней успеваемости по ма­тематике:

Y= 1 + 0,025 • 132 = 4,3

У другого учащегося показатель невербального интеллекта оказался равен 82, тогда его средняя успеваемость по математи­ке составит:

Y= 1 + 0,025 • 82 = 3,05

Приведем примеры уравнений множественной регрессии. В исследовании Р. Кеттелла было установлено, что эффективность деятельности психолога-практика и психолога- исследователя можно прогнозировать на основе разных характеристик, по­скольку уравнения множественной регрессии имеют для них раз­ный вид.

Уравнение множественной регрессии для психолога-практика:

Эфф = 0,72A + 0,29B+ 0,29H+ 0,29N (12.17)

Уравнение множественной регрессии для психолога-исследо­вателя:

Эфф = 0,31 А + 0,78 B + 0,47 N (12.18)

Где:

А — готовность к контактам,

В — общая интеллектуальность,

Н — ненасыщаемость контактами с другими людьми (социальная смелость, общительность, активность, отзывчивость)

N — умение поддерживать контакт.

Следовательно, для психолога-исследователя не характерно наличие интенсивного общения, в то время как для психолога-практика интенсивное общение оказывается самым значимым

качеством (цит. по В.Н. Дружинин. Экспериментальная психоло­гия. М. 1997, с. 36).