Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Применение степенных рядов




Разложение в степенной ряд методом интегрирования.

Дифференцируя или интегрируя известные разложения функций в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя

в пределах от 0 до x, |x|<1 (это законно, так как ряд равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при |x|<1), получим формулу ln(1+x)=

Ряд в правой части сходится при x=1 и, значит, сумма его непрерывна в этой точке.

Пример. Разложить по степеням x функцию arctg x.

Известно, что arctg x=. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: (из биномиального разложения, полагя t2=x).

Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам –1<t<1.

Итак: arctg x =

Вычисление значений функций с помощью рядов.

Пусть нужно вычислить значение функции f(x) при x=x0 с заданной точностью e.

Пусть f(x) разлагается в ряд: f(x)=a0+a1(x-a)+…+an(x-a)n+… в интервале (a-R, a+R) и точка x0 принадлежит интервалу.

Тогда, f(x0)=a0+a1(x0-a)+a2(x0-a)2+…

Взяв достаточное число первых членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с увеличением n. Абсолютная погрешность |f(x0)-Sn(x0)|=|Rn(x0)|, где Rn(x0)=an+1(x0-a)n+1+an+2(x0-a)n+2+…

Необходимо, чтобы |Rn(x0)|<e

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001 число e.

Решение. ex=

e1=1+1+

e»1+1+

Rn(x)=, где 0<c<x, при x=1

Rn(1)=и так как eс<e1<3, получим Rn(1)<и подбором получим, что достаточно n=6 e»1+1+.

Приближенное вычисление интегралов.

Пример. с точностью до 0,001.

Так как sinx=x-, то деля почленно на x, получим

Интегрируя

Ряд можно рассматривать как разность сходящихся знакопеременных рядов:

1-

Погрешность не превосходит первого из отброшенных членов, и, подбором, видим, что достаточно трех скобок в разложении

Пример.

Тригонометрические ряды. Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

(6)

где - действительные числа.

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на интервале , называется ряд (6), коэффициенты которого определяются по формулам – Фурье:

Если ряд (6) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция f(x) на интервале имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке интервала и сумма S(x) этого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри интервала ;

2) на концах интервала, т.е. при ;




3) , где - точка разрыва I рода функции f(x).

Если функция f(x) задана на интервале , где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда - четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

где

В случае, когда - нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

где

Если функция задана на интервале , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить её на интервале . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках интервала находились из условия или . В первом случае функция на интервале будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенте разложения такой функции (в первом случае и - во втором) можно определить по приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную так

Решение: Из определения функции следует, что она удовлетворяет условиям Дирихле. Поэтому заданная функция разлагается в свой ряд Фурье.

поэтому

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную равенством.

Решение: Эта непрерывная функция, очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье, она четная, поэтому

Следовательно,

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию определенную равенством

Решение: Эта функция разрывная, удовлетворяет условиям Дирихле, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Функция нечетная, поэтому



Следовательно

Пример. Функцию разложить в ряд косинусов на интервале .

Решение: Продолжая заданную функцию четным образом, как показано на рис. 17 пунктиром, будем иметь

поэтому

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 4, график функции на интервале – периоде (-2,2) изображен на рис.

Решение. Заданная функция нечетная с периодом 2=4, поэтому

В результате получим





Дата добавления: 2014-01-25; просмотров: 2915; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8284 - | 7915 - или читать все...

Читайте также:

  1. I. Введение. Современный бой является общевойсковым боем. Для него характерны применение ядерного оружия, участие большого количества сухопутных войск с их разнообразной
  2. VII. Музыкальная жизнь Англии. Бах отходит от обрядовой традиции, развернув освященный церковью шестичастный цикл в монументальную композицию из двадцати четырех номеров, объединенных в
  3. А вот фоновый слой перемещать нельзя. И поставить какой-то рядовой слой ниже фонового нам тоже не позволено
  4. АГРИКУЛЬТУРА СРЕДНЕВЕКОВЬЯ И ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ. ник), рис, нашедший применение в Ломбардии, хлопчатник, нашедший место в Южной Испании. Раньше о хлопке доходили в Европу только рассказы о том, что на
  5. АГРОНАУКА В XVIII веке. против «клевероутомления», и применение гипса стало распространяться. Но одного гипса было недостаточно, а кроме того, однолетнее пользование было
  6. Анализ взаимосвязи временных рядов
  7. Анализ демографических показателей Хворостовского района методом динамических рядов
  8. Анализ динамических рядов
  9. Анализ рельефа земель сельхозугодий с применением ArcView GIS 3.1
  10. Аналитическое выравнивание временных рядов, оценка параметров уравнения тренда
  11. Аналитическое выравнивание рядов динамики
  12. Атаки второго намерения. Широкое применение в сабельном фехтовании разного рода контратак и ответов ударом по голове приводит саблистов к необходимости применять контрмеры в виде атак


 

100.26.182.28 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.008 сек.