Применение степенных рядов

Разложение в степенной ряд методом интегрирования.

Дифференцируя или интегрируя известные разложения функций в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя

в пределах от 0 до x, |x|<1 (это законно, так как ряд равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при |x|<1), получим формулу ln(1+x)=

Ряд в правой части сходится при x=1 и, значит, сумма его непрерывна в этой точке.

Пример. Разложить по степеням x функцию arctg x.

Известно, что arctg x =. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: (из биномиального разложения, полагя t²=x).

Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам –1<t<1.

Итак: arctg x =

Вычисление значений функций с помощью рядов.

Пусть нужно вычислить значение функции f(x) при x=x₀ с заданной точностью e.

Пусть f(x) разлагается в ряд: f(x)=a₀+a₁(x-a)+…+a_n(x-a)ⁿ+… в интервале (a-R, a+R) и точка x₀ принадлежит интервалу.

Тогда, f(x₀)=a₀+a₁(x₀-a)+a₂(x₀-a)²+…

Взяв достаточное число первых членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с увеличением n. Абсолютная погрешность |f(x₀)-S_n(x₀)|=|R_n(x₀)|, где R_n(x₀)=a_n₊₁(x₀-a)ⁿ⁺¹+a_n₊₂(x₀-a)ⁿ⁺²+…

Необходимо, чтобы |R_n(x₀)|<e

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001 число e.

Решение. e^x =

e¹ =1+1+

e»1+1+

R_n(x)=, где 0<c<x, при x=1

R_n(1)= и так как e^с<e¹<3, получим R_n(1)< и подбором получим, что достаточно n=6 e»1+1+.

Приближенное вычисление интегралов.

Пример. с точностью до 0,001.

Так как sinx=x- , то деля почленно на x, получим

Интегрируя

Ряд можно рассматривать как разность сходящихся знакопеременных рядов:

Погрешность не превосходит первого из отброшенных членов, и, подбором, видим, что достаточно трех скобок в разложении

Пример.

Тригонометрические ряды. Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

(6)

где - действительные числа.

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на интервале , называется ряд (6), коэффициенты которого определяются по формулам – Фурье:

Если ряд (6) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция f(x) на интервале имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке интервала и сумма S(x) этого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри интервала ;

2) на концах интервала, т.е. при ;

3) , где - точка разрыва I рода функции f(x).

Если функция f(x) задана на интервале , где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда - четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

где

В случае, когда - нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

где

Если функция задана на интервале , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить её на интервале . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках интервала находились из условия или . В первом случае функция на интервале будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенте разложения такой функции (в первом случае и - во втором) можно определить по приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.