Вычисление пределов с помощью рядов

Рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена в окрестности точки :

. Данное представление можно рассматривать при малых значениях и следующим образом: и т.д., где обозначено, например, –функция, более высокого порядка малости, чем при . В действительности, отношение остатка ряда к будет стремиться к :

.

Этот факт будем использовать при представлении функции частью ряда, содержащего необходимое число слагаемых. Число удерживаемых слагаемых в ряде определяется величиной малости выражения, стоящего в знаменателе. Рассмотрим на примерах:

Пример 1. Вычислить значение предела:

. Здесь принято, что .

Пример 2. Вычислить значение предела:

.

Здесь и в дальнейшем используем следующий факт: .

Пример 3. Вычислить значение предела: