Определение. Уравнения

Задача Коши.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения.

ЛЕКЦИЯ 19

19.5.1. Теорема о существовании и единственности решения д. у. (1)

Теорема. Если непрерывны в области W Í R^{n +1}, то " т. $ единственное решение y (x) уравнения на некотором интервале оси Ox, содержащем x ₀, такое, что

(2)

19.5.2. Задача Коши для д. у. n -го порядка. Общее и частное решения, общий и частный интегралы. Особые решения.

Определение. Задача Коши: найти решение д.у.(1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

В условиях теоремы о $ и единств. решения задача Коши " точки имеет единственное решение (задача Коши поставлена корректно).

Пример. .

– не корректно (по области определения);

– не корректно, т.к. не непрерывна;

– задача поставлена корректно.

Определение. Если в области W Í R^{n +1}

" т. задача Коши имеет единственное решение, то каждое из решений y (x) называется частным решением уравнения в W.

Если получена формула

y = φ(x, C ₁, C ₂, …, C_n) (3)

такая, что

а) " C ₁, C ₂, …, C_n из некоторого E Í Rⁿ функция

y = φ(x, C ₁, C ₂, …, C_n) есть частное решение в W

б) каждое частное решение в W может быть получено по этой формуле выбором единственных C ₁, C ₂, …, C_n,

то формула (3) называется общим решением д.у. в W.

определяющие частное и общее решения в неявном виде

(т.е. имеющие те же решения, что и д. у.),

называют частным интегралом и общим интегралом д.у.

Определение. Решение д.у. называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.