Биноминальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию: , где – любое действительное число. Получим значение функции и её производных:

, .

, .

, .

, .

............................................................................................

, .

...........................................................................................

Поэтому ряд Маклорена функции имеет вид:

Установим область сходимости данного ряда:

Если , то данный ряд будет сходящимся, т. е. Интервал сходимости данного ряда есть . Доказательство того факта, что остаточный член формулы Маклорена стремится к нулю здесь приводить не будем. Итак, имеем, что при верно равенство:

Если – целое положительное число, то ряд содержит всего слагаемых и превращается в формулу бинома Ньютона.

Рассмотрим ряд:

, т.к. это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия при , со знаменателем .

С другой стороны: – это биноминальный ряд и он сходится к самой функции при .

При биноминальный ряд расходится.

Аналогично можно получить разложение функции в биноминальный ряд: ,

который имеет место при .