Теорема Лейбница

Знакочередующиеся ряды.

Пример 11.

Пример 10.

Т.к. , а ряд сходится по признаку Даламбера, то

тоже сходится по признаку сравнения.

Найти сумму ряда

Т.к. , то исходный ряд можно представить в виде:

Определение: Ряды вида

(3)

где знаки строго чередуются, называются знакочередующимися.

Если в знакочередующемся ряде (3):

а) члены ряда убывают, т.е.

б) общий член стремится к нулю, при n стремящимся к бесконечности, т.е.

, то ряд (3) сходится, его сумма положительна и не превышает первого члена ряда.

Доказательство:

Рассмотрим частную сумму первых n=2m членов ряда. Представим её в виде:

>0 >0 >0

и возрастает с возрастанием m; с другой стороны,

Т.е. получим, что частные суммы возрастают и ограничены сверху числом

Для нечетных частичных сумм имеем.

Т.к. , то

Вывод: Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда с убывающими по абсолютной величине членами суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.