Прямая и обратная зависимости декартовых и криволинейных координат

Если задана система отсчета , то в скалярной форме соотношение (1.5.1)

(1.5.1)

можно записать в виде

(1.5.3)

Из сформулированных в определении 1 свойств вытекает, что:

—функции , , однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;

—система (1.5.3) разрешима относительно обобщенных координат , так что

Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (1.5.3) отличен от нуля при всех из области .

Действительно, матрица Якоби для системы (1.5.3)

(1.5.3)

имеет вид

.

Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (1.5.2)

. (1.5.2)

А потому

.

Данное неравенство выполняется в любой точке из области .

Поэтому из определения 1 обобщенных координат следует, что справедливы условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (1.5.3), а из самой теоремы вытекает существование решений , , этой системы.