2014-01-25
999
Теорема. Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Дано: система сил 
– в равновесии.
Требуется доказать: 
, 
.
На основании основной леммы статики система 
с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть
.
Так как 
и при этом тело под действием системы сил находится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил 
. Итак тело находится в равновесии под действием двух сил 
и 
. По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы : 
. Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:
.
Так как главный вектор и главный момент системы равны главному вектору и главному моменту системы – геометрическое свойство элементарных операций, то
, 
,
то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы равны нулю.
Достаточность.
Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой: ; .
Доказать: тело под действием системы сил находится в равновесии.
На основании основной леммы статики систему с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть
.
У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса 
, 
– геометрическое свойство элементарных операций. Тогда 
, 
. Иными словами:
; 
. Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силы и либо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силы и прямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы сил находится в равновесии. Под действием первоначальной системы сил тело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.
