Средняя арифметическая

В зависимости от характера имеющихся данных средняя арифметическая может быть невзвешенной (простой) и взвешенной. Невзвешенная средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

                                               (1.2)

Пример 1.8 Определим средние показатели рождаемости и смертности Владимирской области, используя показатели районов сведенных в таблицу 1.8.

Таблица 1.8

Район	рождаемость	смертность
Александровский	7,8	16,7
г. Владимир	8,1	11,3
Вязниковский	6,7	17,1
Гусь-Хрустальный	9,0	17,9
Ковровский	7,0	16,4
Кольчугинский	7,5	16,7
Муромский	6,8	13,8
Гороховецкий	6,6	20,3
Камешковский	6,7	21,1
Киржачский	7,5	16,3
Меленковский	6,7	20,0
Петушинский	7,5	16,7
Селивановский	6,7	20,0
Судогодский	7,6	15,7
Суздальский	6,8	16,3
Юрьев-Польской	7,1	18,5

 

Для расчета невзвешенной средней арифметической в Excel используется функция СРЗНАЧ, используя которую, были получены средние значения рождаемости и смертности Владимирской области по данным районов:

 

СРЕДНЕЕ

7,3

17,2

 

Взвешенная средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

                                              (1.3)

Пример 1.9 Взвешенная средняя арифметическая используется при расчете индексов Стендарта и Пура, Ros-Index и др. рассмотрим расчет среднего курса продаж долларов США по итогам торгов на российских валютных биржах. В таблице 1.9 приведены исходные данные по торгам.

Таблица 1.9

	A	B	C
2	Валютные биржы	Объем продаж, млн. долл.	Курс, руб/долл.
3		fi	xi
4	Московская	79,99	30,84
5	Санкт-Петербургская	8,4	30,95
6	Сибирская	3,97	30,78
7	Уральская	25,69	30,81
8	Азиатско-Тихоокеанская	3,5	30,69
9	Ростовская	0,64	30,77
10	Нижегородская	0,02	30,83

 

Для получения взвешенной средней арифметической используя Excel, можно применить две функции: СУММПРОИЗВ (для получения суммы произведений столбца f_i  на столбец x_i) и СУММ (для получения суммы данных столбца f_i). После чего разделить первое на второе.

В результате получим взвешенный средний курс продаж долларов США на российских валютных биржах:

 

Средний курс продажи

30,8346

 

Пример записи полной функции в ячейке, где получаем искомое значение взвешенной средней арифметической:

=СУММПРОИЗВ(B4:B10;C4:C10)/СУММ(B4:B10).

Исходные цифровые данные введены в блок ячеек B4: C10.

Медиана

Медианой называется значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для ранжированного ряда с нечетным числом элементов медианой является элемент, расположенный в центре ряда. Для ряда с четным числом элементов медианой будет средняя арифметическая двух смежных центральных элемента.

Пример 1.10 Для определения медианы данных, приведенных в таблице 1.10, применялась функция МЕДИАНА. Эта функция автоматически ранжирует ряд и дает приведенный результат.

Таблица 1.10

Производитель костюмов	Число купленных костюмов
Diadora	236
Adidas	200
Reebok	337
Nike	250
Umbro	305
МЕДИАНА	250

 

Получили результат средний спрос на спортивные костюмы составляет 250.

Результат нахождения медиан для примера 1.8 будет: рождаемость 7,1, смертность 16,7.

 

Мода

Модой называется чаще всего встречающаяся варианта или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (например, при определении наиболее ходового товара). В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.

Из примера 8, используя функцию МОДА, можно получить для рождаемости варианту 6,7, а для смертности – 16,7.

При использовании Excel вместо ответа после применения функции МОДА может появиться сообщение #Н/Д. Это означает, что наиболее часто встречающееся значение найти невозможно (множество не содержит одинаковых, повторяющихся данных). Рассмотрим пример расчета моды в этом случае.

Пример 1.11 В таблице 1.11 приведен спрос на костюмы.

Таблица 1.11

	А	В
1	Размер костюма	Число купленных костюмов
2	46	57
3	48	48
4	50	95
5	52	60
6	54	77
7	наибольший спрос	95
8	мода	50

В ячейке В7 записана формула

=МАКС(B2:B6)

В ячейке В8 соответственно

=ИНДЕКС(A2:A6;ПОИСКПОЗ(B7;B2:B6))

В результате получено модальное (максимальное) значение спроса по размеру костюма.

 

Дисперсия

Это числовая характеристика случайной величины, характеризующая рассеяние ее возможных значений около математического ожидания. Вычисляется статистическая дисперсия в зависимости от исходных данных по формулам простой (невзвешенной) дисперсии и взвешенной дисперсии:

 

,

.                                    (1.4)

 

В Excel функция ДИСПР вычисляет дисперсию по генеральной совокупности, а функция ДИСП – по выборке из генеральной совокупности.

Пример 1.12 В таблице 1.12 естественного прироста населения в странах СНГ выполнен расчет среднего значения прироста населения по годам и дисперсия генеральной совокупности, которая дает ответ на вопрос, в какие года наблюдался наибольший разброс рождаемости.

Таблица 1.12

	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Азербайджан	145	130	122	105	93	81	85	78	72	70
Армения	55	45	31	26	24	23	20	16	12	10
Белоруссия	17	11	-11	-19	-33	-37	-47	-44	-49	-41
Грузия	43	26	12	10	18	20	14	8	0,4	...
Казахстан	219	200	160	146	108	87	72	68	66	69
Киргизия	99	96	82	73	80	73	67	69	71	63
Молдавия	26	25	19	10	3	2	3	2	-3	-4
Россия	104	-219	-750	-893	-840	-777	-756	-706	-929	-958
Таджикистан	180	142	137	122	133	113	116	98	88	...
Туркменистан	99	104	100	98	96	79	70	68	62	...
Узбекистан	593	570	547	510	533	490	466	413	414	...
Украина	-39	-100	-184	-243	-300	-310	-312	-301	-350	-373
По Содружеству	1541	1030	265	-55	-85	-156	-202	-231	-545,6
Среднее значение	128,4	85,8	22,1	-4,6	-7,1	-13,0	-16,8	-19,3	-45,5
Дисперсия	24410	32916	80606	98311	94558	81556	76725	65593	96738
Стандартное отклонение	156,2	181,4	283,9	313,5	307,5	285,5	277	256,1	311