Нормальное распределение

 

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким-либо законам распределения, приближенно подчиняются нормальному закону. Это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Но при этом должно соблюдаться условие, что ни одна из случайно действующих величин по своему действию не окажется преобладающей над другими. Такая закономерность проявляется во многих практических случаях. Например, массовые общественные явления (рождаемость, смертность, преступность и т.д.) характеризуются нормальной кривой распределения случайных величин. Поэтому, если истинный закон распределения неизвестен, то его аппроксимируют нормальным распределением. Однако, если есть сомнения в применимости использования нормального распределения для описания случайной величины, то возможность его использования оценивается с помощью критериев согласия. Формула для плотности нормального распределения имеет вид:

 

,                                    (2.1)

 

а формула нормальной функции распределения:

 

.                                (2.2)

 

В Excel функция НОРМРАСП использует первое уравнение, если его четвертый аргумент «интегральная» равен 0 (ЛОЖЬ), и второе уравнение, если этот аргумент равен 1 (ИСТИНА).

Кривая плотности нормального распределения имеет следующий вид:

 

 

Рис.2.1

 

Отметим некоторые свойства этой кривой:

максимальная ордината кривой соответствует точке , что соответствует так же моде (Мо) и медиане (Ме);

по мере удаления от этой точки плотность распределения падает, и при  кривая асимптотически приближается к оси абсцисс;

изменение  при постоянстве  приводит к смещению кривой вдоль оси абсцисс, не меняя ее формы;

с увеличением  кривая становится более пологой (широкой), а с уменьшением – более острой (узкой).

Пример 2.1.

Обследовано мужское население в возрасте от 18 до 65 лет.

Было установлено, что средний рост =176см.

Стандартное отклонение составило =6см.

Определить: какой процент общего числа закупаемой одежды должна составлять одежда 5-го роста (182-186 см).

Предполагается, что рост мужского населения города распределен по нормальному закону.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить величину функции распределения для роста 186 см, затем для роста 182 см и вычесть из первого второе. Используем интегральную оценку функции НОРМРАСП. В первом случае она имеет вид

НОРМРАСП(186;176;6;истина)

Величина интегральной функции распределения для x=186 см составила 0,95221.

Величина интегральной функции распределения для x=182 см составила 0,84134.

Разность 0,95221-0,84134=0,11086, что составляет примерно 11%.

Таким образом, одежда 5-го размера должна составить около 11% общего числа закупаемой одежды.

Рис.2.2 поясняет пример.

 

 

Рис.2.2

На рис.2.2 заштрихованы вычитаемые площади, получаемые из уравнения нормальной функции распределения. В первом случае получили интегральную оценку площади под кривой нормального распределения в диапазоне от - ∞ до x =186, во втором – от - ∞ до x =182. Разность полученных величин плотности распределения дала искомое значение количества одежды 5-го размера от общего объеме закупаемой одежды для мужчин (11%). Эта доля в распределении заключена между x =182 и x =186.