Скользящее суммирование

Пусть задана последовательность независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретныйбелый шум). Корреляционная функция последовательности

имеет вид

(2.7)

Сформируем из последовательности новую последовательность :

(2.8)

Случайная величина получается путем суммирования (с весами ) независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности .При этом для вычисления очередного значения исходная последовательность сдвигается на один элемент вправо, так что значение выбрасывается.Зависимость (коррелированность) между случайными величинами и обеспечивается за счет того, что в образовании их участвует общих случайных величин последовательности .При значения и становятся некоррелированными.Характер корреляционных связей процесса определяется, очевидно, лишь выбором значений коэффициентов и не зависит от закона распределения исходных случайных чисел .Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразования последовательность будет нормальным случайным процессом.

Случайная последовательность коррелированных чисел имитирует в точках значения некоторого стационарного случайного процесса с корреляционной функцией , которая в точках определяется, как легко видеть, соотношениями:

(2.9)

где .

Действительно, накладывая условие (2.7) на систему (2.8), получим (2.9).

Вычисление корреляционной функции по формулам (2.9) является, по существу, операцией сверткидискретной функции с дискретной функцией , т. е.

(2.10)

Вычисление корреляционной функции по формулам (2.9) можно свести также к перемножению матриц:

. (2.11)

Таким образом, методом скользящего суммирования по алгоритму (2.1) можно формировать дискретные реализации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором весовых множителей .

Если коэффициенты заданы, то корреляционную функцию случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, легко можно найти из соотношений (2.9) - (2.11).Но это лишь задача анализа. Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решать задачу синтеза: по заданной корреляционной функции найти нужные коэффициенты (весовую функцию дискретного фильтра), — которая, как и многие другие задачи синтеза, значительно сложнее задачи анализа.