Методические указания по выполнению практической работы

1. Повторите основные определения; формулы и правила вычисления интеграла; разберите примеры

2. Подберите для каждого задания соответствующие формулы и правила

Определение 1. Первообразной функцией для данной функции называется такая функция , производная которой равна , т.е. .

Например, первообразной функцией для функции является , т.к. . Но эта первообразная не единственная, а только одна из многих, т.к. функции все функции вида , где С – произвольная постоянная, являются первообразными для , поскольку .

Действительно, если на некотором промежутке функция является первообразной для функции , то для этой последней будет первообразной и любая функция вида , где С – постоянная.

Определение 2. Если – какая-либо первообразная функция для , то выражение , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

При этом функция называется подынтегральной функцией, а выражение называется подынтегральным выражением, а знак называется знаком интеграла.

Согласно определению неопределенного интеграла, можно записать

Операция нахождения первообразной по данной функции называется интегрированием.

Пример 1. Найти: 1) ; 2) .

Решение.

1) Функция производная функции . Следовательно,

2) Функция производная функции . Следовательно,

Свойства неопределенного интеграла

Таблица неопределенных интегралов

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств.

Пример 2. Найти .

Решение. .

2. Метод замены переменных

Метод замены переменных заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из табличных формул интегрирования.

Одним из вариантов метода замены переменной является способ подведения под знак дифференциала, заключающийся в преобразовании:

Пример 3.

Решение. .

Пример 4. Найти интеграл методом замены переменной:

1) ; 2)

Решение.

1) .

2) .

При помощи подстановок нетрудно вычислить следующие интегралы:

Фигура, ограниченная графиком не прерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Ее площадь вычисляетс по формуле Ньютона-Лейбница: